Skip to main content

Full text of "EjerciciosAlgebraEspaciosVectoriales"

See other formats


1 



ESPACIOS VECTORIALES 

ESTRUCTURA 



1.1. Demostrar que el axioma V8 es equivalente al axioma si- 
guiente : 

V8* : ax = ** a = 6 x=0 ,para todo a G K, x6V, 

SOLDC IO N : 

a) V8 =» V8* 

En efecto, en todo espacio vectorial se verifica que : 

• Ox = ya que ax - (a + 0)x = ax + Ox 

de donde Ox - 

• aO = ya que ax - a(x +0) ° ax + a0 

de donde aO • 

Por tanto, a = ó x = implica ax - 

• Recíprocamente, ax = implica a ■ 5 x ■ 

• Si a = ya está demostrado 

• Si a ¡í entonces (a a)x - a , es decir, x - 
h) V8* ■* V8 

Ahora los axiomas que se verifican son VI .... ,V8* .veamos que se cumple tam- 
bién V8. 
Sea lx - x'; si x ■ x' ya está demostrado. Si x i* x' entonces se tiene: 

lx = x' « lx = lx' = l(x - x') = 
y como x - x' j 1 , se sigue por V8* que 1 - .contradicción. 



Espacios vectoriales 

1.2. En el conjunto R 1 = R x R se definen las siguientes opera 

Dnes: 

Suma +• : (x,y) + (x',y*) = (x + x\y + y') 

Producto .R : k(x,y) = (kx,ky) 
Ludiar si la terna (R ¡ ,+,.R> es un espacio vectorial. 

) L U C I O N : 

(x,y)+((x'.y')+(x",y")) - (x,y) + (x'+x",y'+y") 

= (x+tx'+x'^.y+íy'-fy")) 

- ((x+x l )+x",(y+y*)-t-y' , > 

- (x+x'.y+y*) + (x",y M > 
= ((x,y) + (x'.y 1 )) + (x",y") 

(x,y) + <x',y') - (x + x",y + y') 

= (x' +• x,y* + y) 

= (x'.y') + (x,y) 
El elemento neutro es el vector (0,0) ya que (x,y) + (0,0) = (x,y) 
El elemento opuesto de (x,y) es (-x,-y) ya que <x,y) + (-x,-y) - (0,0). 



a((x,y) + (x'.y')) - a(x + x' ,y +■ y') 

- (a(x + x') ,a(y + y')) 
= (ax + ax' , ay + ay 1 ) 
= (ax.ay) + (ax'.ay 1 ) 
= a(x,y) + a(x',y') 

(a + b)(x,y) = ((a + b)x ,(a + b)y) 

- (ax + bx , ay + by) 

- (ax.ay) + (bx.by) 

- a(x,y) + b(x,y) 

a(b(x,y)) = a(bx ,by) 

= ((a(bx),a(by)) 
« (<ab)x ,(ab)y) 
= (ab)(x,y) 

l.(x.y) - (l.x.l.y) = (x.y) 

Por verificarse los 8 axiomas de espacio vectorial se sigue que 



(R 2 ,+,.R) = Espacio vectorial real 



Los pares (x,y) pueden llamarse ahora con justicia "vectores numéricos". 



1.3- En el conjunto R = R x r se definen las siguiente opera- 



ciones : 



Suma 



: (x,y) + (x',y') = (x + x',y + y') 



Producto .R : 



a(x,y) = (ax,0) 



Estudiar si la terna (R , + , -R) es un espacio vectorial. 
S^O L U C I O N : 

1) El par (R ,+) es un grupo conmutativo. 

t) La propiedad asociativa es consecuencia de serlo la suma de números rea- 
les. 

2) El elemento neutro es el par (0,0) 

3) El elemento opuesto del par (x,y) es el par (-x,-y) 

4) La conmutativídad es consecuencia de serlo la suma de números reales. 

2) La operación externa verifica las siguientes propiedades: 

5) a((x,y> + (x 1 ,y')) = a(x + x' . y + y 1 ) 

- (a(x + x') , 0) 

- (ax + ax* , 0) 

= (ax,0) + (ax', 0) 
= a(x,y) + a(x\ y') 

6) (a + b)(x,y) = «a + b)x , 0) 

- (ax + bx , 0) 

- (ax ,0) + (bx , 0) 

- a(x,y) + b(x,y) 

7) a(b(x,y)) = a(bx , 0) 

= (a<bx) ,0) 

- ((ab)x , 0) 

- (ab)(x,y) 

8) l.(x.y) = (1.x ,0) = (x.0) * (x.y) 



El axioma V8. de los espacios vectoriales no se verifica, luego la terna 
(R ,+,.R) no es un espacio vectorial. 

3) N6tese que el conjunto R con las operaciones indicadas cumple los siete 
primeros axiomas del espacio vectorial. Esto demuestra que el axioma V8. es 
independiente de los demás. 

Conviene señalar esto ya que en los casos ordinarios de espacios vectoria - 
les el axioma V8. parece trivial, y no se ve, si no profundizamos, su necesi - 
dad en la axiomática de esta estructura. 



1>4> Demostrar que, en la axiomática usual de espacio vectorial 
bre un cuerpo K,la condición de conmutatividad del grupo aditivo 
redundante. 

O L U C I O M : 

efecto, sea V el espacio vectorial, y sean x,y € V , entonces 

x+y+x+y- l.(x + y) + l.(x + y) 
-(14 l)<x 4 y) 
= (14 l)x + (1 + l)y 
= x + x + y-t-y 
^nplificando por la derecha y por la izquierda la anterior relación resulta: 
y + x - x + y 



J.5. Sea R el cuerpo de los números reales. En R = RxR se de 
nen la operación ínteran 

(x,y) 4 (x',y') = (x + x\y +.y') 
la operación externa con escalares reales 

k(x,y) = <kx,y) 
tudiar las propiedades de espacio vectorial que se verifican. 

OLUC ION : 

El par (R ,+) es un grupo conmutativo con» ya hemos visto en otros ejerci- 
cios anteriores. 

Veamos quS propiedades de la operación externa se verifican. 
V5. k((x,y) + <x',y')) - k(x + x\y + y') 

- (k(x 4 x'J.y + y') 

- (kx + kx' ,y + y') 
= (kx,y) + (kx\y') 

= k(x,y) 4 kíx'.y') , luego se verifica V5. 

V6. (k + h)(x,y) = ((k + h)x,y) 
- (kx 4 hx.y) 
* (kx.y) + (hx.y) 
= k(x,y) + h(x,y) , luego NO se verifica V6. 

V7. k(h(x,y)) = k(hx,y) 

- (khx.y) 

- (kh)(x,y) , luego se verifica V7. 
de donde se sigue V7. 

V8. l(x,y) - (Ix.y) - (x,y> , luego se verifica V8. 



l.b- Sea R el cuerpo de los números reales. En R = R x R se de 

finen la operación interna 

(x,y) + (x',y') = (x * x',y 4 y«) 
y la operación externa con escalares reales, 

k(x,y) = (x,y> 
Estudiar si la terna (R ,+,.R) es un espacio vectorial. 

SOLUCIÓN : 

1) El par (R ,+) es un grupo conmutativo como ya hemos visto en otros ejerci- 
cios anteriores. 

2) Veamos si se verifican las propiedades de la operación externa. 
V5. k((x,y) + (x'.y')) = k(x 4 x' ,y 4 y*) 

= (x 4 x',y 4 >■') 

- <x,y) 4 (x'.y') 

- k(x,y) 4 k(x\y') 
y, por tanto, se verifica el axioma V5. 

V6. (k 4 h)(x,y) = (x,y) 

* (x,y) 4 (x,y) 
= k(x,y) 4 h(x,y) 
y, por tanto, no se verifica el axioma V6. 
V7. k<h(x,y)) = k(x,y) 
= (x,y) 
= (kh)(x,y) 
Luego se verifica el axioma V7 . 
V8. l(x,y> = (x.y) 

Luego se verifica también el axioma V8. 
De lo anterior se sigue que (R ,4,.R) no es un espacio vectorial. 



I./. Sea V un espacio vectorial no nulo sobre un cuerpo K de 
infinitos elementos; demostrar que V tiene también infinitos ele- 
mentos. 

SOLUCIÓN : 

Puesto que V es distinco de ÍO} .existe al menos un elemento x j* 0. Los vectores 
ax con a € K son todos distintos ya que si ax - bx , a,b e K entonces 

ax - bx ■* ax - bx - — (a - b)x -0 — a-b=0 
de donde a = b . contradicción 

Por tanto, V tiene al menos tantos elementos.es decir, vectores como elementos 
tiene R. 



Espacios vectoriales 

1.8. Sea Z/2Z el cuerpo de los números congruentes módulo 2, 
K ■ Z/2Z , se considera el espacio vectorial (K ,+,-K). Se pide 
Número de vectores de este espacio. 
Formar la tabla del grupo aditivo. 

Demostrar que esta tabla es isomorfa al grupo de KLEIN K.. 
LOCIÓN : 



El cuerpo base K consta de dos elementas, las clases 0,1. Luego K ■ K«K 
consta de cuatro elementos. Los vectores son los siguientes: 
v o - (5,5) ; V] - (5J) ; v 2 - (T.5) ; w y - (T.T) 

La tabla del grupo aditivo es la siguiente: 



+ 


V 

o 


V l 


V 2 


V 3 


v o 


-* 
V 

o 


-» 
V l 


-* 
V 2 


-* 
V 3 


-* 

v l 


-*■ 

v l 


V 




V 3 


V 2 


•* 
V 2 


-*■ 
v 2 


J a 


V 




-> 
V l 


V 3 


-* 
V 3 


-* 

V 2 


-* 


V 





Esta tabla es un grupo de orden cuatro. Es evidente que no se trata del gru- 
por cíclico ya que todos los elementos son de orden dos, luego es isomorfo 
al grupo de KLEIN K, o grupo del rectángulo. 



(K ,+, K) el espacio vectorial sobre el 



1.9. Sea K = Z/3Z 

crpo K . 
pide : 

Número de vectores del espacio vectorial. 
Si v es un vector cualquierda de K , ¿qué puede decirse de 

V + V + V ? 

Ó L U C I O N ; 



El cuerpo base consta de tres elementos 0,1,2 -Luego el número de elementos 
3 



X 



de K es : 

Card(K') - Card(K*K*K) 

- Card(K).Card(R).Card(K) 

- 3.3.3 - 27 
v + v + v - 3.v - Q.v - 



Por tanto, en todo espacio vectorial K cuyo cuerpo base sea de caracterís- 
tica 3 se verifica que 

■* * * í 
v + v + v - 



1.10. Sea R el conjunto de los pares de números reales.se de- 
finen las operaciones : 

(x,y) ♦ (x' ,y'> = <x + x' ,y + y') 

k(x,y) = (k 2 x,k 2 y> , k G R 

Estudiar las propiedades de espacio vectorial que se verifican. 

SOLOCION : 

i) (R ,+) es un grupo conmutativo, como se ha visto ya en los ejercicios ante 
riores. 
ii) Veamos ahora cuáles de los axiomas V5.V6.V7 y V8 se cumplen. 
• V5 : k((x,y) + (x\y*)) - k(x + x\y + y') 

" <k 2 (x +x'),k 2 (y + y')) 

- (k 2 x + k 2 x', k 2 y + k 2 y') 

- (k 2 x, k 2 y) + <k 2 x\k 2 y'> 

- k(x,y) + k(x'.y') 
Luego, se cumple el axioma V5. 

• V6 : (k + h)<x,y) - (<k + h) 2 x,(k + h) 2 y) 

= {(k 2 4- 2kh + h 2 )x,(k 2 + 2kh + h 2 )y) 

= (k x + 2khx + h 2 x, k 2 y + 2khy + h 2 y) 

* (k 2 x,k 2 y) + (h 2 x,h 2 y> 

- k(x,y) + h(x,y) 
Esta propiedad no se verifica en general. Si k - 1 , h - 2 y (x,y) - (3,4 
se tiene , 

(1 + 2X3,4) - 3(3,4) = (3 2 .3,3 2 .4) - (27,36) 
1(3.4) + 2(3.4) - (3,4) + (12.16) = (15,20) 
que evidentemente son distintos. 

• V7 : k(h(x,y)) - k(h 2 x.h 2 y) 

= (kTx .k 2 h 2 y) 
- ((kh) 2 x,(kh) 2 y) 



(kh) (x.y) 



Luego, se cumple V7. 

l-(x.y) - (l 2 x,l 2 y) i 

Luego, también se verifica el axioma V8 . 



• V8 : l.(x.y) - (l 2 x,l 2 y) - (x.y) 



Espacios vectoriales 



1.11. Sea K un cuerpo de característica dos. En K = K x K se de 
en la operación interna 

(x,y) + (x',y') ■ (x + x',y + y') 
a operación externa con escalares de K 

k(x,y) = (k 2 x,k 2 y) 
udiar si la terna (K ,+,.K) es un espacio vectorial. 

L ü C I O N : 



U par (K ,+) es un grupo conmutativo. 

Ti. La propiedad asociativa es consecuencia de serlo la suma en K. 

12. La propiedad conmutativa es consecuencia de serlo la suma en K. 

/3. El elemento neutro de la suma es el par (0,0) 

/¿. El elemento opuesto del par (x,y) es el par (-x,-y). 

/eamos las propiedades de la operación externa. 
15. k((x,y) + (x'.y')) = k(x + x 1 ,y + y') 

- (lc 2 (x + x"),k 2 (y + y*)) 

- (k 2 x + k 2 x\k 2 y + k Z y') 
= (k 2 x.k 2 y) +■ (k 2 x\k 2 y f ) 
= k(x,y) * k(x',y*) 

de donde se sigue el cumplimiento del V5. 
k'6. (k + h)(x,y) 



((k + h) 2 x,(k + h) 2 y) 



= ((k 2 + h 2 + 2kh)x,(k 2 + h Z + 2kh)y) 

= (k x + h x, k y + h y) , ya aue K es de característica 2, 

= (k 2 x,k 2 y) + (h 2 x,h 2 y) 

= k(x,y> *- h(x,y) 
y por tanto.se cumple el axioma V6. 

Nótese que esta propiedad se verifica si el cuerpo base es de caracterís- 
tica 2. En el ejercicio anterior hemos visto que esta propiedad no se cum- 
ple cuando el cuerpo es R. 
V7. k(h(x,y)) - k(h 2 x,h 2 y) 

- <k 2 (h 2 x),k 2 (h 2 y» 

- <(kh) 2 x,(kh) 2 y) 

- (kh)(x,y) 

y por tanto, se cumple la propiedad V7. 
V8. l.(x,y) - U 2 x.l 2 y> 
= Cx.y) 

de donde se sigue el cumplimiento del axioma V8. 
lo anterior se sigue que (K ,+, -K) es un espacio vectorial. 



Espacios vectoriales - Estructura / 17 

1. l¿. Sea R el conjunto de pares de números reales, C el cuer- 
po de los números complejos; se definen las operaciones siguientes: 

íx,y) + (x' ,y') * (x + x'.y + y 1 ) 

a (x,y) = (ax - by,bx + ay) 
siendo a = a + bi € C. 

Demostrar que (R ,+,.C) es un espacio vectorial complejo. 

SOLUCIÓN : 

2 

I) El par (R~,+) es un grupo conmutativo como se ha visto ya en ejercicios ante 

riores. 

2) Veamos ahora que se cumplen los 4 restantes axiomas de espacio vectorial. 
V5: a((x,y) + (x',y')> = a(x,y) + a(x' ,y ' > 
tt((x,y) + (x\y')) = a(x + x'.y + y 1 ) 

- (a(x + x*) - b(y + y'),b(x + x') + a(y + y')) 

- (ax - by + ax' - by'.bx + ay + bx' + ay') 
= (ax - by.bx + ay) + (ax' - by'.bx' + ay 1 ) 
= a(x,y> + a(x'.y') 

V6: (a + B)(x,y) = ((a + bi) + (c + di))(x,y) 

= ((a + c) + (b + d)i)(x,y> 

= ((a + c)x - (b + d)y,(b + d)x + (a + c)y) 

- (ax - by + ex - dy, bx + ay + dx + cy) 

- (ax - by , bx + ay) + (ex - dy , dx + cy) 

- a(x,y) + 8(x,y) 

V7: (o6)(x,y) - ((a + bi)(c + di))(x,y) 

= ((ac - bd) + (ad + bc)í)(x,y) 

= ((ac - bd)x - (ad + bc)y,(ad + bc)x + (ac - bd)y) 

= (a(cx - dy) - b(dx + cy) , b(cx - dy) + a(dx + cy)) 

- (a * bi)(cx - dy.dx + cy) 
= (a + bi)((c + di)(x,y)) 

- a(0(x,y)) 
V8: l.(x,y) - (1 * Oi)(x,y) 

- (l.x - O.y.O.x -I- I. y) 
" (x,y) 



De 1) y 2) se deduce que (R ,+,.C) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de 
los números complejos. 



f,(x: 



.IX 



a e k 



1.13. Sea G un grupo abeliano y .K una operación externa sobre 
[¡ue verifica los axiomas V5,V6 y V?. Demostrar que : 

La aplicación f fl : G ^- G 

definida por x 

es un endomorf ismo. 

Im f : = fx £ G/lx = xl 

Im f x n ker fj = ¡0} 

Todo elemento x de G puede expresarse de la forma x = x^ 

con x. G Im fj^ 



x ? e ker f,.Esta forma es Gnica. 



Im f. es un espacio vectorial sobre K con las operaciones indu- 

c idas . 



3 L U C I O N 



, por definición de f\ 



, por V5 

, por definición de f 
que x es un elemento de Im f . ya que x es imagen 



f <x + y) - a(x + y) 
- ax + ay 
= f (x) + f (y> 
o Si lx = x , es evident 

del mismo. 
• Recíprocamente, sea x un elemento de Im f., entonces existe un y de G 
tal que f,(y) B x , es decir, ly = x. Veamos que lx = x . 
Se tiene : x = ly -* lx - l(ly) , multiplicando por 1 

= (l.l)y , por V7 

• ly "X 
Si x e Im f. n ker f, entonces f,(x) = lx = x , por pertenecer a Im t^ 

y f . <x> = , por pertenecer a ker f, 

luego x = e Im f. O ker f, - {0} . 

Tomemos 



Sea x un elemento de G, entonces x. = f,(x) nertenece a Im f.. 
x„ - x - x. entonces 



fjtxj) = f x (x - x,) - f,(x) - fjíxj) = xj - x, = 



luego x_ G ker f. 



Por canto 



x = x. 



L SIlf l 



1 2 

La descomposición es única por verificarse c) . 
Iro f. es un subgrupo de G 



ker f 



Im f. es estable para el producto ya que 



ax = Üa)x - l(ax) G Im f 



Im f. verifica los axiomas V5.V6 y V7 por ser un subconjunto de G y el 
V8 por el apartado b) 

De lo anterior se deduce que Im f, con las operaciones inducidas es un 
espacio vectorial. 






tspac/os vectoriales - bstructura I ifi 

l.l*l. Sea f una función continua de R en R.En R se definen las 
operaciones siguientes : 

x*y = (x 3 + y 3 ,V3 

x-y = f(x}y 
Determinar las condiciones que tiene que verificar la función f pa 
ra que (R,*,-R) sea un espacio vectorial. Hallar f. 

SOLUCIÓN : 

a) En el ejercicio 11.12. del tomo I se ha demostrado que (R,*) es un grupo con 
imitativo. 



b) Veamos si se verifican los axiomas V5,V6,V7'y V8. 
• V5 



a-(x*y) - fíaXx 3 + y 3 ) ,/3 



V6 



- «f(a)x> 3 + (f(a>y) 3 ) l/3 

- (f(a)x) * (f<a)y) 
= <a • x) * (a • y) 

(a + b) -x - (a -x) *<b -x) *• f<a + b)x = ((f{a)x) 3 + (f<b)x) 3 ) 1/3 

(f(a)x) 3 +- (f(b)x) 3 



« (f(a+b)x) J 

- (f(a + b)9 - íf(a)) 3 + (f(b)) 3 



V7 : (ab) ■ x 



(b -x) 



V8 : 



f(ab)x - f(a)(f(b>x) 
= f(ab) = f(a)f(b) 

f<l)x = x 
*» f(l) = l 
El axioma V5 se verifica para toda función f continua de R en R. 
Los axiomas V6.V7 y V8 nos proporcionan tres condiciones que debe verificar 
la función f : 

f<» - 1 , [II 

f(ab) = f(a)f(b) , [2 | 

(f(a + b)) 3 = (f(a)) 3 + (f<b>) 3 , 13] 

Las funciones f de R* en R* que verifican la segunda condición son precisa- 
mente las funciones potenciales.es decir, los isomorfismos continuos del 
grupo multiplicativo R* en si mismo, y son de la forma g(x) = x r . 
Nótese que si se verifica la segunda condición automáticamente se verifica 
la primera, basta tomar en [ 2 | b - 1 . 
La tercera condición se verifica cuando r - 1/3 

Por tanto, la función potencial g es g<x> = x*' 3 . Esta función se extien- 
de a todo R de modo natural y se obtiene la función f definida por 



f<x> - 



1/3 



15. Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S un con- 
d arbitrario y 

M(S,V) = {f : S ^-V/f aplicación} 

strar que la terna (M<S,V) , + , .K) es un espacio vectorial, sien- 

y .K las operaciones naturales inducidas por las de V en el 
unto M(S,V) . 

L ü C I O N : 



Ipcracíón interna : 

M(S;V) x M(S;V) — 

(E.g) 

onde f + g : S > V viene definida por {f + g)(x) = f(x) + g(x) 



- M(S;V) 

- f + B 



!1 par (M(S;V),+) es un grupo conmutativo. 
.) P. asociativa : f + (g + h) - (f + g) + h 
En efecto , sea x e S entonces , 

(f + (g + h))(x) - f(x) + (g + h)(x) - f(x) ■•■ g(x) + h(x) 
= (f + g)(x) + h(x) 
- (f + g) + h)íx) 
de donde se sigue que f + (g + h) ■ (f + g) + h . 

(?) El elemento neutro viene dado por la aplicacifin : S >- V donde 

0(x) - , para todo x de S 

(f + 0)(x) - f<x) + 0(x) - f(x) de donde f + = £ 

3) El elemento opuesto de f es -f definido por (-f)<x) ■ -f(x) 
(f + (-f))(x) - f(x) + (-f)(x) - f(x) - f(x) - 0(x), de donde 

f 4 (-f) - 

4) La conmutatividad es consecuencia de 

(f + g)(x) - f(x) + g(x) - g(x) + f(x) - (g + f)(x) 

Operación externa : 

K x M(S;V) »- M(S;V) 

(a , f) *- af 

donde af : S ^V viene definida por : (af ) (x) = af(x) ■ a.(f(x)) 

La operación .K verifica las propiedades del espacio vectorial , 

5) a(f + g) - af + ag 

6) (a + b)f - af + bf 

7) a(b<f)) = <ab)f 

8) l.f - f 

La demostración de estas propiedades se hace como en la suma. 



1.16. Sea r, un qrupo abeliano y K un cuerpo conmutativo;se de- 
fine una operación externa en G de la siguiente forma : 

"Para todo a G K y todo x e G, ax = 0" . 
Estudiar las condiciones que tiene que verificar G para que la ter 
na (G,*,.K) sea un espacio vectorial. 

SJ3 L U C I O N : 

a) Por ser C un grupo abeliano verifica loa axiomas V1.V2.V3 y V. de espacio 
vectorial. 

b) Veamos que. axiomas cumple la operación externa. 

V5 : a(x + y) - ax + ay ya que a(x + y) = y ax = y ay - , y , 

por tanto, ax + ay = 
V6 : ía + b)x = ax + bx ya que (a + b)x -0 y ax=0 y bx»0,y, 

por tanto, ax + by a 
VÍ : <ab)x - a(bx) ya que (ab)x = y a(bx) = aO = 

VA : lx = luego no se verifica el axioma si C tiene elemen- 

tos distintos de 
Por tanto, (C.+-. ,K) es un espacio vectorial si. y solo si. C. tiene un único ele- 
mento, es decir, G es el grupo cero. 



1.17. Demostrar que la condición necesaria y suficientes para 
que la unión de dos subespacios vectoriales de V sea un subespacio 
vectorial es que uno de ellos esté contenido en el otro. 

SOLUCIÓN : 

a) La condición es necesaria. 

Sean W.y W„ dos subespacios vectoriales de V cuya unión W. U W. sea un sub- 
espacio vectorial de V. 

• Si W. C U entonces ya está demostrado. 

• Si U 1 £ ** 2 entonces existirá al menos un elemento x € W. tal que x $ U.. 
Para todo y € W 2 se tiene que z - x + y e Wj U W 2 por ser la unión de Mj 
y W 2 un subespacio vectorial. Como x $ W, también z = x + y $ V-, luego 

z = x + y G Wj de donde y e Wj ,y por canto, W 2 C Wj 

• Si W C W. entonces de forma análoga se tiene que W, C|)., 

b) La condición es suficiente. 

En efecto, sí W, CB. entonces W, U W ? • W, 

si W 2 C Wj entonces Wj U W- = W 
y en ambos casos la unión es un subespacio vectorial. 



/ cspac'os vecionaies 

1.18. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. 
Demostrar mediante un ejemplo que la unión de dos subespacios 
vectoriales, no es en general un subespacio vectorial. 
Si (W. ) . _- es una familia de subespacios de V, filtrante su- 
periormente, es decir, tal que para todo i/j G I existe un k € I 
con W. c= W. y W . c w. , entonces U H ¡ es un subespacio 

i k 3 * iei 1 

vectorial de V. 
fe) L C I 0_N : 

, V ± - <(x,y,z)/ x - y - 0) y * 2 = <(x,y,z) / z - 01 



Sea V = 

entonces si W. \j W_ fuese un subespacio como (0,0,1) y (1,1,0) son vec- 
tores de H u W, se verificaría que (1,1,0) - (0,0,1) = (1,1,-1) es un 
vector de M, U W„ , lo que no es cierto ya que (1,1,-1) no es un vector 
ni de H- ni de H 2 , 

Veamos ahora que [_Jv. es un subespacio vectorial de V. 
i6l 

a) Como W. j 1 .para todo i .entonces 11**. 3* 

b) Sean x,ye LJ W. .entonces existe un i€ I tal que 

ígi l 

un jGl tal que yGW. , siendo la familia filtrante superiormente exis 



x € W. , y existe 



ce un k £ I con W. 



W , por tanto x,y G W. . 



Por ser W un subespacio vectorial se tiene : x + y G ¥. 



de donde 



x+y€UWi 

ie 1 

c) Finalmente sea a G K y x G|] w. entonces existe un iGI tal 

iGI 
que x G W. , de donde ax G W. y de aquí axGMw. 

De a) , b) , c) se deduce que Mw. es un subespacio vectorial de V 

iei 1 

1.19. Poner en (R ,+,.R) un ejemplo que demuestre que la unión 
dos subespacios vectoriales no es en qeneral un subespacio vec- 
rial de R . 

O L U C I O N : 



insideremos el espacio vectorial R y en él los subespacios 
W = l(x,0)/x G Rl y W 2 = {(0,y)/y € R> 

vector (1,0) G U, y el vector (0,1) G W- ; si W. U W_ fuese subesoacio 
jctorial de R el vector (1.0) + (0,1) = (1,1) pertenecería a la unión, contra- 
cción con el hecho de que (1,1) no pertenece a ninguno de los dos subespacios. 



Espacios vectoriafes - Estructura I 23 
1.20. En el espacio vectorial R 1 ' se considera el subcon junto 

M = { (Xi ,X 2/ X 3/ X l| ) / Xj + X ? + X 3 + x„= 0) 

I 

I o ) Demostrar que M es un subespacio vectorial de R . 

2 o ) Encontrar en M tres vectores u,v,w que sean linealmente in- 
dependientes , y demostrar que todo vector de M se puede poner 
como combinación lineal de u,v,w. 

SOLDCION : 

I o Veamos que M es un subespacio vectorial de R . 

Sean x - (X| ,x 2 ,x 3 ,Xi,) e y - (yi,y2i y 3 .yi.> dos elementos de M 1 *, enton- 
ces , 

x + y = (x¡ + yi, x 2 + y 2 . xj + y 3 , x u + y g ) , y 
xi + yi + x 2 + y 2 +■ x 3 + ya + x L + y b - 

- (xj + x ? + x 3 + x ü ) + (yj + y ? + y 3 + yi.) 

' + 0-0 , 

luego , x + y es un elemento de M. 

De ax - a(xj ,x 2 ,x 3 ,xi, ) -(axi , ax 2 , ax 3 , axi.) 

y axj + ax 2 + ax 3 + axq - a(xj + x 2 + x 3 + xi.) - a.O ■ 

se sigue que ax es un elemento de M. 

4 
Por tanto M es un subespacio vectorial de R . 

2" Los vectores ¡ u - (1,0,0,-1) 
¡v - (0,1,0,-1) 

- (0,0,1,-1) son elementos de M y linealmente indepen- 
dientes como se comprueba fácilmente. 

Sea 2 - (zj, z 2 , z 3 , z u ) un vector de M, que por tanto verifica , 

= z\ + z 2 + z 3 + Zq . 
Veamos si podemos poner z como combinación lineal délos vectores u,v,w. 

2 ■ au + bv + cw 

= (zi ,z 2 ,z 3 ,z„ ) = a(l, 0,0,-1) + b(0, 1,0,-1) + c(0, 0,1,-1) 

- (a,b,c,-a-b-c) 

luego basta tomar , a = zi , li ■ z? , c ■ z¡ 



De los dos apartados anteriores se sigue que (M,+, .R) es un subespacio vectorial 

A 

de R , de dimensión 3 ya que B = (u,v,w) es una base de M. 



/ Espacios vectoriales 

1.21. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, J¿^ (V) el 
njunto de todos los subespacios de V. Demostrar : 
La relaciñn ^ definida en J^ÍV) por 



'"i £ M 2 



i, n w 2 - w - 



es una relación de orden. 

El par LjflV) ,S ) es un retículo. 



Si W 1 S W_ .entonces se verifica : 



w 2 n (w + w L > 



(w 2 n w» + Wj 



O L U C I O N : 



U 1 S V 1 ya que W ; fl » l 



b> • Wj < W 2 
. w 2 < II 



C > # M l " W 2 
• U 2 " «3 



V V 2- W l 

w 2 n w - w 2 



V U 2 

u 2 nw 3 



y de aquí se deduce que W. - W 



de donde se deduce : 



h x n w 3 = (v l n w 2 ) n w 3 = v l n (w 2 n w 3 ) - v l n w 2 - w r 

donde Wj S W 3 

De a),b),c) se deduce que C-¿(V),S) es una relaci6n de orden. 

Para ver que ÍJÍVf),~) es un retículo basta demostrar que 
a) supflr^H,,) - W x + W 2 y b) inffl^.Wj) - 1^ fl \¡ 2 

Veamos la demostración de la primera ,1a otra es totalmente análoga. 

De V 1 c V 1 + w 2 y » 2 c 1^ + X¡ 2 se sigue que 

• W, íl (W, + W„> - V, de donde W, í W, + W„ 



di 



M 2 n <H 1 * V " M 2 de d0nde W 2 - W l + W 2 



Sea HG j¿?v) tal que ^í H y U ¿ < H , entonces , 

como consecuencia de esto : 



• H^ H = U ¡ 



y por tanto W c H 



• W 2 n H = W 2 y por tanto « 2 = H 



W » V) c h , es decir, (W + W ? ) n H = W.+ W , o lo que es lo mismo 
V x + W 2 S H , luego sup(W r H 2 ) - Wj + W 2 . 



) Esta tercera propiedad de los retículos recibe el nombre también de 

postulado de Dedekind . Al ser una relación entre subespacios vectoriales 
como cojuntos se tratará de demostrar la igualdad de é*stos. 



espacias vanuiiaias - oifut-tuja , 



i) Sea ie « 2 n (W + Uj) entonces z e « 2 y z G W + \¡ x y por 
tanto z ■ x + y con x C W . y G W- . 



Como W « W se tiene (1) 



z - y e w. 



y ademas (2) x G W 

De todo esto se obtiene que z ■ x + y 



luego x ew 2 n W 



con 



x g w 2 n w , y G W 



es un elemento de (W 2 fl W) 



W 



1 * 



o lo que es lo mismo , 



h 2 n (w + Wj> c <w 2 íl H) + m x 

b) Sea ahora z £ (H. (1 H) + W, entonces z - x + y con x GW ? flW , y GH 



entonces y e W» y por tanto z = x+y G H ? 



equivalente a decir que x € W. , x € W . y ^ W ; 

como W í W- , y G W 

y como además x € U , y CW. entonces obtenemos también : z €w-rfl 

y en consecuencia z G W. fl (W + «.) ,o lo que es lo mismo, 



(u 2 n w) + w L c w 2 n (W + u x ) 

De a) y b) se sigue la cuestión 3). 

1.22. Sea P(R,R) el espacio de todas las funciones de R en R. 
Estudiar si W es un subespacío de F(R,R) donde : 
i) W = {f G F(R,R)/f<3) = 0) 

Ü) W = {f e P(R,R)/f (1) a f (2)} 

ííi) W = {f G P<R,R)/f (-x) - -f(xfl 
SOLUCIÓN : 



i) W ¿ (S ya que La función cero f € W puesto que f (3) = 0. 
Si f ,g e W entonces para todo a.b G R se tiene que 

(af + bg)<3) - af(3) + bg(3) - a.O + b.O - 
Luego, af + bg G U y por tanto W es un subespacío vectorial de F(R,R). 
Ü) W i ya que la función cero f € W puesto que f (1) - f(2) - 0. 
Si f ,g G U entonces para todo a.b G R se tiene que 

(af + bg)(D - af(l) + bf(l) - af(2) + bf(2) = (af * bg)(2) 
Luego, af + bg G W y por tanto U es un subespacio vectorial de F(R,R) . 
iii) W ¿ ya que la función cero f G W puesto que f (-x) - - -0 - -f (x 
Si f,g €W entonces para todo a,b € W se tiene que 
(af + bg)(-x) - af(-x) * bg(-x) - -af(x) - bg(x) - -(af(x> + bg(x» 

- -(af + bg)(x) 
Luego, af + bg € W y por tanto H es un subespacio vectorial de F(R,R) . 



/ Espacios vectoriales 

1.23. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Demos- 
ar medíante un ejemplo que LSfív) ,<) no es en general un 
tículo distributivo. 

Q L U C I O N : 

i V ° R , consideremos los subespacios vectoriales U- - i(x,y)/ x - 0) 

■~ - í(x,y) / x = y ) , y Vj ■ í(x,y> / y - Oí entonces se cieñe: 



♦ (a) 



ij n (w 2 + h 3 > - w x n R' 



- W. 



• íb> (Hj n w 2 > + (w x n h 3 > = {oí + (ol - (o} 

Evidentemente los subespacios vectoriales de R obtenidos en (a) y (b) 
no son iguales .luego la intersección íl no distribuye respecto de la 
suma + ■ 

Análogamente se verifica : 

♦ (a) » l + (w 2 n w 3 ) - V ¡ + (0) = W ( 

♦ (b) (w ( + w ? ) n (w x + w 3 > = R 2 n R 2 = R 2 

Evidentemente los subespacios vectoriales obtenidos en (a) y (b) no son 
iguales .luego la suma no distribuye respecto a la intersección. 



los apartados 1) y 2) se deduce que O^TOO . 2 ) o lo que es lo mismo 
'TOO, + , (1 ) no es un retículo distributivo. 



I >«i Sea S = íu.,u ? ,...,u } un sistema libre y u el vector 



u = a,u. + a^u~ + ... + a u 
11 2 2 n n 



Jo por, 

nde los coeficientes son todos no nulos. Demostrar que el sistema 
= tu l ,u 2 ,,..,u i-1 ,u f u i+1 , . . ,,u n } es libre. 

O L U C ION : 



remos la demostración por reducción al absurdo. Supongamos que S 1 es un siste 

ligado;por ser S' - {ul un sistema libre u cieñe que depender linealmence de 

s vectores de S*. es decir, 

u - b,u, + b-u, + ... + b. ,u. ,+ b.,.u.,, + ... + b u 
ii 2 2 í-l í-l i+l í+l n n 

= b,u, + b-u., + ... + b. ,u. .+ Ou. + b...u.., + ... + bu 
i 1 2 2 i-l i-l i í+l í+l n n 



tambiún, 



u - Vl + a 2 u 2 + ... + ■ 1 _ 1 tt i _ l + a iUi + b i+l u. +] + ... + a n u n 



donde a. - ,concradicción. Por tanto, S' es un sistema libre. 



Espacios vectoriales - Estructura I 27 

1.25. Se considera el conjunto V = ( (xiy,y,-x)/x,y e R) 

en el que se definen las siguientes operaciones: 

Ax,y,y,-x) + (z,t,t,-z) - {x+z, y+t, y+t, -(x+z)) 
K (x,y,y,-x) = (kx,ky,ky,-kx) ke r 

Demostrar que V con estas operaciones es un espacio vectorial. 

SOLDCION : 

4 
Es evidente que V es un subconjunto del espacio vectorial R .Para ver si V 

es un espacio vectorial , subespacío de R , basta ver sí cumple las dos con 

diciones de subespacío. 

a) Sean (x,y,y,-x) , (z,t,t,-z) dos elementos de V , entonces , 
(x,y,y,-x) - (z,t,t,-z) = (x-z,y-t,y-t,-(x-z>) 

es un elemento de V -Por tanto V es un subgrupo de R . 

b) Sean (x,y,y,-x) un elemento de V , y k un número real, entonces 
k(x,y,y,-x) - (kx,ky,ky,-kx) 

es un elemento de V. 

4 
De a) y b) se deduce que V es un espacio vectorial , subespacío de R . 



I .^D. Se considera el subconjunto de los números reales dado 
por W b {a + b/2 + c/3 / a,b,c e Q} . Demostrar que W es un subespa 
ció vectorial de R con las operaciones inducidas .Dar también una 
base y la dimensiOn. 

SO LOCIÓN : 

1) Es evidente que W es un subconjunto no vacío de R. Para ver si W es un subes 
cío vectorial de R, basta ver sí se cumplen las dos condiciones de subespacío 
vectorial. 

a) Sea a + b/I + c/3 - y a' + b'/T + c'/3 dos elementos de W entonces 

(a + b/2 + c/3) + (a' + b'/2 + c'/3) = (a + a') + (b + b')/2~ + (c + c*)/3" 

que es un elemento de U. 

b) Sean a + b/2 + c/3 € W y k un número real , entonces 

k (a + b/2 + c/3 ) = (ka) + <kb)^" + (kc) /3 B 

que es un elemento de W gK|v'.. 

2) Una base de este subespacío vectorial es B = (l,/2 ,/%) c orco «k^^ jrfí ieh A^~; 
inmediatamente. Por tanto, su dimensión es Card(B) ■ 3. '^SfcnT" T.tr¡G 



/ Espacios vectoriales 

1.27. Sea V un espacio vectorial sobre K y S un subconjunto 
V. Se llama cierre de S al menor subespacio vectorial que con 
|ene a S. Lo designaremos por L(S) o por <S) . Demostrar : 

L{S) es la intersección de todos los subespacios de V que con 
tienen a S. 

L(S) es el conjunto de todas las combinaciones lineales fini- 
tas de elementos de S. 

O L ü C I O N : 



Sea F la familia de todos los subespacios de V que contienen a S.dado 
que V G F , F no es vacía. Sea W = f 1 F , si F € F entonces 

Fe F n 

S cz F, siendo F un subespacio vectorial, por tanto II - I I F es un 

subespacio vectorial y S C H. 

Veamos que es el menor de los subespacios que contienen a U. 

Si 11 es un subespacio vectorial de W tal que contiene a S .entonces 

H € F y por tanto W - l| F cz H , de donde W es el menor subes- 

FG F 
pació de V que contiene a S y en consecuencia W = L(S) . 



Sea D - 



E a.x. / x. € S 



el conjunto de todas las combinado— 



11 i 

nes lineales finitas de elementos de S, entonces se verifica : 

a) G , ya que basca tomar todos los a. nulos. Luego D M • 

b) Si x,y GD con x = £a.x. , y - £b.x. , x.,x. € S, 
entonces x ♦ y - £ a i x - + ^b-*- es una combinación lineal 
finita de elementos de S , luego x * y € . 

c) Si x £ U , con x - X a j x - y a G K entonces se obtiene : 
ax • a ( £ a.x.) - £(aa.)x. que es una combinación lineal 
finita de elementos de S. 

De a),b) y c) se deduce que D es un subespacio de V. 

d) Además si x G S, x - 1.x es una combinación lineal finita de elemen- 
tos de S, luego S <= U . 

e) Víamos ahora que ü ■ W ■ L(S). 

Si 11 es otro subespacio de V tal que S c H . entonces si x G U 
x ■ V* a - x - con x j G S y por tanto x.GH de donde x GB y 

finalmente U c H ,es decir, U es el menor subespacio de V que contie 
ne a S .Así pues , ü - L(S) - W 



tspac/os vectoriales - tstructura I 29 

1 .Zo. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Demostrar: 

1) L(V) = V , L(0) »(0Í 

2) S t^T entonces L(S) c L(T) , y reciprocamente. 

3) L(LÍS)) = L(S) 

4) Si W es un espacio vectorial de V entonces L(W) = W 

5) L(S U T) - L(S) + L(T) 

6) Si x G L(S U {y}) y x $ L(S) , entonces y G L(S U {x}) 
donde se indica con US) el cierre de S, es decir, el menor subes 
pació de V que contiene a S 

SOLUCIÓN : 



1) Evidentemente los menores subespacios de V que contienen a V y (5 son res- 
pectivamente V y ÍO} , luego L(V) = V y L<0) - {0 ) 

2) L(T) es un subespacio que contiene a T , por tanto a S, de aquí que como 
L(S) es el menor subespacio que contiene a S , se sigue L(S) c L(T) . 

4) Se demuestra ahora la propiedad 4) que luego utilizaremos. 

Si W es un subespacio , el menor subespacio que contiene a W es precisamen 
te W , luego L(W) - W. 

Recíprocamente, si W = L(W) , como L(W) es un subespacio entonces también 
lo es W. 

3) Como L(S) es un subespacio , por la propiedad 4) se sigue que 
L(L(S)> - L(S) 

5) Los elementos de L(S U T) son combinaciones lineales finitas de elementos 
de S U T, es decir, elementos de S y de T. 

Sea entonces , z un elementos de L<S U T) , entonces z-£a.x. , x.GSUl 
asociando esta expresión mediante la asociatividad y conmutatividad de la 



suma de vectores en la forma , 



X! B i X i + 2- 



a¿x 



X;GS 



"iG T 



i"i 



se sigue que z G L(S U T) — * z = u + v , donde u G L(S) y v G L(T) , 
decir, L(S UT)c L(S) + L(T) . El otro contenido es inmediato. 

Si x G L(S U {y}) entonces x - £ a.x. + by con x.G S y a. ,b € K 

b debe ser distinto de cero , pues de lo contrario se tendría : x ■ £a.x. 

x j e s • luego x € L(S) , contradicción con la hipótesis. 

Siendo b i» se tiene , y - b" x + ( £ (-b~ a.x.)) , con x. € S , es 



decir , 



L(S U {x}) 



1.29. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo de los nüme- 
b reales en el que se verifican las siguientes relaciones: 
lax + by + cz = , a,b f c € R ; x,y,z€ V 
) ab/ 

mostrar que el subespacio vectorial engendrado por los vectores 
z es el mismo que el engendrado por y,z. 

D L Ü C I O N : 

— — — ^— ^— —~—~ t 

trata de demostrar que L({x,z}) * L({y,z}). 

L({x,z}) C Lííy.z» 

En efecto, ax + by + cz = « x - (-b/a)y + <-c/a)z ya que a ¿ 0, 
y por tanto, x,z pertenecen a L({y,z}), luego el subespacio engendrado 
por x,z esta contenido en el subespacio engendrado por y,z. 

LÜy.Z» C L({x,z}) 

En efecto, ax + by + cz ■ -*■ y - (-a/b)x +. <-c/b)z ya que b i 0, 
por tanto, y,z pertenecen a L(íx,z)), luego el subespacio engendrado 
por y,z está contenido en el subespacio engendrado por x,z. 
i) y ii) se deduce el enunciado. 



1.30* Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, x,y e V , 
n x ¿ e y^O. 

¡mostrar que L {íx}) = L(íy">) si y solo si x = ay , a ¿ 0. 

ir una interpretación geome£rica de este resultado. 

O L O C I O N : 



a) Si L((xJ) - L({y}) entonces se tiene que x G L<{y!) y por tanto 
x es una combinación lineal de y, es decir, x - ay , con a # ,pues 
sino x = O.y = , contradicción con la hipótesis de x i 

b) Recíprocamente , sea z e L(íxJ) , entonces z = bx , y por tanto, 

z = bx = b(ay) = (ba)y de donde z GL(ty!). 

Por consiguiente , L(íx)) <= L(íy}> (1) 

Análagamente , si z € L(íyt) entonces z - cy , y por canco , 

z = cy = cía x) = (ca )x de donde z € L(íx)). 
Por consiguiente , Lííy}) c Lífx}) (2) 

De las relaciones (1) y (2) se tiene finalmente que L(¡xl) • L({y}). 



Geométricamente esto significa que dos rectas vectoriales son iguales si, y 
solo si, un vector arbitrario no nulo de ellas es proporcional a un vector 
cualquiera no nulo de la otra. 



1.31. Sea R el espacio vectorial numérico tridimensional, se 
consideran los subespacios vectoriales engendrados por los vecto- 



ra c 



/ 



u = (1,2,1) , v = (1,3,2) 
y x = (1,1,0) , y = (3,8,5) 

Demostrar que L({u,v}) = L({x,y}) 



SOLDCIOH : 

Los subespacios engendrados son iguales si x,y £ L({u,v}) y u,v e L(íx v}) 
i) Los vectores x,y dependen línealmente de u y v 

a) (1,0,0) - 3(1,2,1) + b(I,3,2) 
- (a, 2a, a) + (b,3b,2b) 
. - (a + b,2a + 3b,a + 2b> 
de donde , 



1 - a + b 

1 - 2a + 3b 

- a + 2b 

es decir, x ■ 2u - v 



resolviendo el sistema (a.b) = (2,-1) 



b) (3,8,5) - a(l,2,l) + b(l,3,2) 

- (a +b,2a + 3b, a + 2b) 

de donde , 



-* resolviendo el sistema (a.b) - (1,2) 



3 = a + b 

8 = 2a + 3b 

5 = a + 2b 

y por tanto , y = u + 2v 

ii) Los vectores u y v dependen línealmente de x,y 

Este aparcado se puede hacer de forma análoga al anterior, pero resulta 
mas rápido resolver el sistema 

x -. 2u - v 
y - u + 2v 



Haciéndolo resulta : 



2 A 1 
U = p X + - y 



V-- § X + -y 



e i) y ii) se sigue que los subespacios vectoriales L({u,v)) y L({x,yí) son 
iguales. 



12 / Espacios vectoriales 

1.32. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita .Demostrar 
iue las condiciones siguientes son equivalentes : 
.) dím V = n 

!) mln I card(S) / S sistema generador de V ) ■ n 
í) máx ícard(L) / L sistema linealmente independiente de V) = n 

5 O L U CION : 



ti) =>2) 

Si dira V = n , existe una base B con cardinal n,es decir un sistema de gene- 
radores con cardinal n. 

Sea T un conjunto de generadores de V con cardinal de T menor que n, enton- 
ces si x G T , x jí , el conjunto L - f x 1 es linealmente independiente 
luego existe una base B' de V tal que 

L <= B' c T 

por tanto, card(B* ) £ card(T) < n - card(B) 

que contradice el hecho de que todas las bases tienen el mismo número de ele 
mentos , por consiguiente , 

mín { card(S) / S sistema de generadores de V) - n 

2) =5» 3) 

Sea S un sistema de generadores de V tal que card(S) - n , entonces S es un 
conjunto de vectores linealmente independientes , ya que si , 



a l x l 



a 2 x 2+ ... +a n x n 







, Xi e s 



y no todos los a. nulos , entonces si por ejemplo , a ¿ , < r — n , 
x c - (-<a 1 )x 1 + <-a> 2 )x 2 + ... + <-<V 1 >* r _ 1 + <-<W V' ' ^"V^n 



J) 



y el conjunto S'= S - {x } sería un sistema generador de V con 

card(S') < card(S) lo que contradice la minimalidad de S. 

Resulta entonces que S es una base y si existiese un conjunto de vectores 

linealmente independientes L con card(L) > n , se tendría una base B tal 

que L c B' C S 

y por canto card(B) > card(L) > n - card(S) , 

lo que contradice que todas las bases tienen el mismo número de elementos- 
Sea L un conjunto de vectores linealmente independientes tal que card(L)= n 
es máximo. 

Entonces el conjunto L' ■ L U {x) no puede ser linealmente independiente 
para ningún x no perteneciente a L, luego existen escalares no todos nulos 
tales que : 



ax + a.x. + a.x. 



a x - 
n n 



V x 2 x n e L 



j 1 ( pues sino a x. 



y como 

para todo i) se tiene que ; 



i 



(-a a^x^ 



•A+- 



(-a" l a 2 )x 2 



a x "0 implica qi 
n n 



í-a a_)x 
n n 



es decir, L es un sistema de generadores de V , y por tanto una base de V , 
de aquí que dim V ■ card(L) = n 



cdf*>«..</» »et.w«(w - csttuvtuta i « 



1.33. 1) Hallar el número de bases del espacio vectorial K , 
siendo K = Z/2Z 

/> 2) Hallar el número de bases del espacio vectorial K' 
siendo K ■ Z/2Z. 

3) Hallar el número de bases del espacio vectorial K' 
siendo K - Z/3Z . 

S O h D C I O H : 

1) El espacio vectorial K tiene 4 vectores : (0,0) ,(0,T) ,(1,5) ,(T,I) .Siendo 
K un espacio vectorial de dimensión 2, se trata de hallar dos vectores li- 
nealmente independientes. Sea la base B • (x,y). 

a) El vector x puede elegirse de tres maneras diferentes, x j* (0,0) 

b) El vector y puede elegirse a continuación de 2 formas diferentes, 
i'or tanto, el número de bases es : 3.2 ■ 6 

2) El espacio vectorial K tiene 2 • 8 elementos, y son : 

(o,o,o),{6,6,r),(0,r,ó),(o,r,r),(T,o,0),(T,6,T),(T,T,o),(í,T,T) 

Siendo K un espacio vectorial de dimensión 3, el problema se reduce a ha- 
llar todas las ternas posibles de vectores linealmente independientes. 
Sean x,y,z los tres vectores de una base. 

a) El vector x se puede elegir de 7 maneras diferentes, ya que el vector 
(0,0,0) no puede entrar en una base. 

b) Elegido x, el segundo vector y se puede elegir, por tanto.de 6 maneras 
distintas ya que debe ser distinto de y x. 

c) Elegidos x,y , el tercer vector z tiene que ser distinto de los vecto- 
res T» 

, x , y , x + y 

que son las posibles combinaciones con los vectores x.yj en consecuen- 
cia el número de posibilidades de elegir z es 4. 
De a),b) y c) se deduce que el número bases de K es ; 7.6,4 



L68 



3> El espacio vectorial K 2 tiene 3 2 - 9 elementos, y son : 



(0,0), (0,1), (0,2) ,(1,0) ,0,0,(1,2), (2,0), (2.1), (2,2) 

Siendo K un espacio vectorial de dimensión 2, el problema se reduce a hallar 
todos los pares posibles de vectores linealmente independientes. 
s ea x,y los vectores de una base, 

a) El vector x se puede elegir de 8 maneras distintas. El vector 3 no entra. 
b> Elegido x, el segundo vector y tiene que ser distinto de los vectores 
0* , x , 2x 

que son las posibles combinaciones con x; en consecuencia el número de 

posibilidades de elegir y es 9-3 ■ 6. 
°e a) y b) se deduce que el número de bases distintas en f} es : 8.6-48 



34 / Espacios vectoriales 

1.34. En R 4 encontrar las ecuaciones paramétricas del subespa- 
cio vectorial W engendrado por el conjunto S de vectores : 

s = { (1,-1,0,0) , (0,1,1,0) , (2,-1,1,0) ,(3,-3,0,0)> 
¿Pertenece el vector (1,1,1,0) al subespacio vectorial W ? 

SOLUCIÓN : 

1 Dado que H - L(S) , S sistema de generadores de W .para encontrar las ecua- 
ciones de V tendremos que encontrar una base de W .para lo que es suficiente 
extraer de S un sistema tnaxiraal de vectores linealmente independientes. 
Procederemos por el método de reducción en "cascada". 



Xl - (1,-1,0,0) 

x 2 - (0,1,1,0) 

x 3 = (2,-1.1,0) 

x^ = (3,-3.0,0) 



Vl - (1,-1,0,0) - x t 
y 2 - (0,1,1,0) ■= x 2 
y - (0,1,1,0) = x 3 - 2Xj 



y - (0,0,0,0) - x 4 - 3Xj 



siendo los vectores y lt y 2 linealmente independientes lo mismo sucede 
con los vectores x. ,x ? , luego una base de W es B = ÍXj.x^ 

Las ecuaciones paramltricas del subespacio vectorial W se obtienen así: 



x € W si y solo sí x - 
1 2 3 4 



'l*l 



ux 2 , por tanto , 



x - (x'.x'.x.x) = ajíl, -1,0,0) + a 2 (0, 1,1,0) 



de donde , 



■l ' "2 



Ecuaciones paramltricas de V 



- 



3 Veamos ahora si el vector (1,1,1,0) es un elemento de W. 



Si (1,1,1,0) G W 



existen dos números a. y 



tales que : 



Puesto que este sistema no tiene soluci6n,no existen tales números aj y a 2 
luego, el vector (1,1,1,0) no pertenece al subespacio vectorial W. 



Espacios vectoriales - Estructura I 36 

1.35. Se considera el subcon junto P de R n formado por todas 
las n-tuplas de números reales .tales que los elementos de cada 
n-tupla-'forman una progresión aritmética de orden uno. 

a) Demostrar que P fl es un subespacio vectorial de R n . 

b) Determinar la base canónica del mismo y su dimensión. 

c) Calcular, respecto de la base canónica, las coordenadas del vec- 
tor (6,9,12 3n+3). 

SOLPCION : 

a) P es un subespacio vectorial ya que : 

i) Si (a,a+d,a+2d a+(n-l)d) y (b,b+d ' ,b+2d * , . . . ,b+(n-l)d) son dos 

elementos de P , entonces su suma 

(a+b, <a+b)-Kd+d* ) , (a+b)42(d+d '),..., (a+b)+(n- 1 ) (d+d ' ) ) 

es también un elemento de P pues sus términos forman una progresión a- 

ritroética de razón d+d'. 

ii) Si (a,a+d,a+2d,. . . ,a+(n-l)d) es un elemento de P y k un número real, 

3 

entonces su producto 

(lea, ka + kd ,ka + 2kd,...,ka + (n-l)kd) 
es también un elemento de P pues sus términos forman una progresión 
aritmética de razón kd. 

b) Se tiene : 

(a,a+d,a+2d a+(n-l)d) - (a, a, a a) + (0, d, 2d . - - . , <n-l)d) 

■ «0. 1.1 O + d(0,l,2 n-1) 

F-l par ((1,1,1 1),(0,1,2 n-1)) es una base de P puesto que son 

linealmente independientes y generadores de P 

Esta base se llama canónica porque respecto de ella las coordenadas de una 

progresión son el primer termino y la razón. 

c) Teniendo en cuenta lo anterior, las coordenadas del vector (6,9, 12, . . . ,3n+3) 
respecto de la base canónica son (6,3) ya que el primer termino es 6 y la 
razón 3. 

En efecto , 

(6,9,12.. ...3n+3) - (6,6,6, ... .6) + (0,3,6, . . . , (n-1) 3) 

- 6(1,1,1 1) 3(0,1.2 n-1) 

Por tanto, las coordenada son (6,9). 

Este resultado es de sobra conocido, ya que toda progresión aritmética queda 
determinada por el primer término a. y la razón d. 
Recordemos que el término general de una progresión aritmética es : 

a n - "l + (n "* l)d 



36 / Espacios vectoriales 



1.36. Se considera el subconiunto P de R N formado por todas las 
sucesiones aritméticas de orden uno. 
a> Demostrar que P es un subespacío vectorial de R - 

b) Determinar la base canónica del mismo y su domensión. 

c) Calcular, respecto de la base canónica, las coordenadas de la su- 
cesión aritmética (1,3,5,7,9,11,...) 

SOLUCIÓN : 

a) El conjunto de las progresiones aritméticas de orden uno con las operaciones 



inducidas . En efecto : 

L > si <Vnew y l Vneii 



BO 



n dos sucesiones de P con a " a. + (n-l)d 



y b • b, +■ (n-l)d' entonces su suma 
n 1 



(a + b ) ^„ 

n nnSH 



con 



+ b = (a, + b.) +■ Cn-lXd+d') 
n n II 

es también un elemento de P pues sus términos forman una progresión a- 
ritroética de razón d+d' y primer término a J +b 1 - 

Si (a > es un elemento de P con a n = flj *■ (n-l)d y k un numero 

real entonces su producto 

(n-l)kd 



(ka) .„ 
n n t<* 



con ka ■ ka , 

n 1 



es también un elemento de P pues sus términos forman una progresión artt 
mética de razón kd y primer término ka ^ . 
b) Se tiene : 



(a n>neW 



- (a, + (n-l)d) - <a,> + << n - 1 > d » n€ N 
-a,(I) +<Kn-l) neN 
Por tanto, el par (U),<ii-l> ng|( ) es una base de P puesto que son linealmence 
independientes y generadores de P. 

Esta base se llama canónica porque respecto de ella las coordenadas de una 
progresión son el primer término y la razón, 
c) Teniendo en cuenta lo anterior, las coordenadas de la sucesión aritmética de 
orden uno , (1,3,5,7,8,11,...) son (1,2) ya que el primer término es l y 
la razón 2. 

NOTA: Los resultados de este ejercicio y del anterior no son válidos para las 

progresiones geométricas- En efecto.consideremos las propgresiones geomé- 

t '¡cas : ( 1 ,2 ,4 ,8 , 16 , . . . ) Y (1,3.9,27,81,-..) 

su suma es : (2,5,13,35,97,..-) 

5. ¿ 13. 
que no es una progresión geométrica ya que 2 5 



1 .37. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un 
cuerpo K , y B - (u 1 ,u 2 , ... , u fl ) una base de V. 
Demostrar que si x es un vector de V no nulo existe un índice r, 
1 £ r£ n , tal que 



B* - (u l »u 2 u r-l' 



l r+l 



'V 



es una nueva base de V. 
POLUCIÓN : 

Sea x = 



l l U l 



. 2 u 2+ ... 



a u , entonces no todos los a. son nulos. 



pues en este caso el vector x sería cero. 



Entonces, existe al menos un coeficiente de índice r , 1 — t£ n , tal que 



a * . 
r 



Multiplicando por a~ y despejando u f se tiene : <i^= a~ x + i? r (~ a r a i >" i »(l) 



Sea B' - (u.,u_,...,u , ,x,u ,...,u_) , entonces B' es una base de V. 
1 Los vectores de B 1 son linealmence independientes. 

i b f entonces x sería combinación li- 



Sea 2- b.u. + bx = ; 

ifT i i 



en la 



neal de los vectores de la base u , , con i f r , y sustituyendo 
expresión (1) el vector x , u sería combinación lineal de los vecto- 
res u. , con i i r, contradiciendo el hecho de ser B una base de V y 
por tanto línealmente independientes .luego debe ser b = 0. 



.~ b.u. ■ implica que b. = , para todo i. 



Si b ■ , entonces 

Consecuencia : Los vectores de B' son línealmente independientes. 

L(B') es un subespacío de V .pero teniendo como generador un conjunto 
de n vectores línealmente independientes se sigue que dim„ L(B') • 
De dim_ V ■ dim_ L(B') - n se tiene que V = L(B') , y por tanto B' es 
un sistema de generadores de V. 



□ 



1 •«Jo. Sea R el espacio vectorial numérico de dimensión 4 so- 
bre el cuerpo de los números reales. Dados los vectores , 

v 1 = (1,1,1,1) , v 2 = (1,0,0,1) , v 3 = (3,2,2,3) 
s e pide : 

aí Comprobar si son línealmente dependientes. 
) Completar el subconjunto de vectores independientes de esos 
dados con vectores de la base canónica hasta obtener una nueva 
base del espacio vectorial R . 



38 / Espacios vectoriales 

1.39. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y x.,x_,.. 

x elementos de V. Supongamos que x, ,x-, , . . . ,x, son linealmente inde- 
n i ¿ r 

pendientes y que se tienen las relaciones 



Sea 



X j = P Ji X l * P J2 X 2 + " • ■ + P jr X r ' r+1 < 1 < n 

n 
W = ((X 1 ,X 2 A n ) G K n / £ X.x. = 0} 



Demostrar que los elementos 

z . * (p L , .. .,p.,0, . ..,0,-1,0, ... ,0) ,r+l < j < n 

donde el -1 ocupa el lugar j , forman una base de W,de aquí que 
diUL. W = n-r. 

SOLDCIOH : 

n n 



Sea 



2 ti*- " ° - 2 5 .( Pil p.,0,... .0,-1,0 0) - 

j-r+1 3 J j-r+1 ' j J 






■* para todo j , r+1 < j < n , £ . - 
por tanco los z. son linealmente independientes. 

Sea (A ,A ? ,...,A )€« , entonces 

n r n n r 

Z X.x. = - í ix ■ • X X.x. - - X XA £ p ; .x.) 



J J 



i-1 l 1 j-r+1 3 J j-r+1 ] i-l J1 l 

r n 

2 ( £ A.O.,)x« 



i-1 j-r+1 



Ti i' i 



y como los x. son linealmente independientes se tiene para I < i < r 



X, - 2 A 



entonces 



2 A p 
j-r+1 1 



1 i 



j-r+1 J J j-r+1 J 



P jc A r+1 ,...^ n > 



£ A (p p ,0,...,0,-l,...,0) 

j-r+1 J jl Jr 



luego los vectores forman un sistema de generadores y por tanto una base de U, 
como hay n-r se tiene que dira_ H ■ n— r 



Espacios vectoriales - Estructura I 3¡ 

1.40. Si x,y,z son vectores linealmente dependientes de V, 

a) ¿S e P"ede asegurar que x depende linealmente de los otros dos?. 

b) ¿se^puede asegurar que uno de los tres vectores es combincacifln 
lineal de los otros dos?. 

Razonar la contestación. 

tij) L U C I O N : 

Si x,y,z son vectores linealmente dependientes de V, existen tres escalares a.b 
y c,n° codos nulos, tales que , 

ax + by + cz - 

a) Si a ■ , b i* y cjfO, los vectores son linealmente dependientes pero 
x no es combinación lineal de los otros dos. 

b) Los escalares a.b y c no pueden ser los tres nulos, y por canto, tampoco dos 
de ellos. Si por ejemplo b i , entonces 

y -- lx-\ z . 
es decir, y es combinación lineal de los otros dos. 
En resumen, la proposición primera es falsa y la segunda verdadera. 



1.41. Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W un sub- 
espacio de V , ( u. ,u_ , — ,u ) una base de W. 

Demostrar que si x es un vector de V que no pertenece a W entonces 
(u, ,u_ , . . . , u ,xí es un conjunto de vectores linealmente independien 
te. 

SOLUCIÓN : 



Se Crata de demostrar que 



'l u l 



'2 U 2 



... + au + a ,,x - ■» 
n n n+i 



'l " a 2 



a ■ a ,, 

n n+1 



i) 



n+1 



t 



En este caso x es una combinación lineal de u,,u_,...,u ,y por Canto, perte 
nece al subespacio W, contradicción. 



11) 



n+1 
En 







este caso resulta que 



a u + a„u + ... + a u 
11 ¿ 2 n n 



"n"° 



y por ser ÍUj.Uj U n ) una base de W , a, - a - . . 

> V ü> se deduce que «j - - 2 " «3 • • • ■ - * n ■ a n+I . y en consecuencia 
l* u 2« ••■ . u Q .x) es un conjunto de vectores linealmente independiente. 



40 / Espacios vectoriales 



que 



1.42. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para 
los vectores (a,b) y íc,d) de R 2 formen una base es que 

ad - be ¿ 

SOLDCION : 

Sean p = " los vectores (a,b> y (c,d) son linealmente independientes" 

y q = " ad - be # " 

entonces (P — <1> ~ < no P — no q) 

Por tanto.este ejercicio es equivalente a demostrar que "dos vectores (a,b) y 

<c,d) son linealmente dependientes si, y solamente si, ad - be = 0". 

i) no p -* no q 

Si los vectores (a,b) y (c,d) son linealmente dependientes se tiene enton- 

ees que, por ejemplo, 

(a,b) = X<c,d) , con X * 

(a,b) - (Xc.Xd) -> a = Ac , b = Xd 

«-» aXd = Xcb 

— ad - be - 



de donde 



ii) no q — no q 

a) Si (a,b> - (0,0) entonces es evidente que los dos vectores son lineal- 
mente dependientes. 

b) Si (a,b) i (0,0) entonces a * o bien b r 0. Supongamos que es a. 
Se tiene entonces que d - bc/a , luego 

(c,d) = (c,bc/a) - (a,b)-- 
y los vectores dados son linealmente dependientes. 

1.43. Dados los vectores u = (1,1.0,») - v = <3,-l,n,-l> 

., ' , ,--, s. m .-41 . hallar los valores de m y n para que dichos 



y w = (-3, 5,m,-4> , hai: 

vectores sean linealmente dependientes. 

SOLUCl Oj* : 

Si los vectores son IMaf dependientes, uno de ellos.al menos.puede expre- 
sarse como combinación lineal de los restantes. 
Veamos si el vector u puede expresarse como combinación lineal de V y w . En es- 



espacios vectoriales - bstructura I 41 



+ bw . Sustituyendo se obtiene el sistema 

a = 2/3 

b - 1/3 



te caso : u * av 

1 = 3a - 3b 

1 - -a + 5b t reao lviendo el sistema : 

= na + bti \ 

ií ■ -a - 4b J 



m - -2 
n = l 



Por tanto, los valores pedidos son 



: ra = -2 y n - 1. 






1.44. En un espacio vectorial V sobre el cuerpo de los números 
omplejos C se dan tres vectores a,b,y c , y se tiene que 
/u = b + c,v = c+a , w = a +■ b 

i°\ probar que los subespacios vectoriales engendrados por a,b,c 



y por u,v,w 



son idénticos. 



2 fl ) Demostrar que los vectores u,v,w son linealmente independientes 
si y solo si a,b,c son linealmente independientes. 

3°) ¿Son ciertos los resultados anteriores si se sustituye el cuer 
po C por otro cuerpo cualquiera K?. 
¿Cfimo debe ser la característica de K?. 

Jf ÓLOCi oír; : 

l 8 ) Los vectores u.v.w son combinaciones lineales de a,b,c , luego pertenecen 
al subespacio vectorial F engendrado por a,b,c , y por tanto, el subespacio 
vectorial G engendrado por u,v,w está contenido en F (Toda combinación li- 
neal de u,v,w es una combinación lineal de los vectores a,b,c.) 



Por otra parte, despejando a,b, y c se tiene : 

w + v - u . _ u + w - v 

a - , o = ■ t 



u + v - w 



2 2 2 

Los vectores a.b.c son combinaciones lineales de los vectores u,v,w , luego, 
por el mismo razonamiento que antes , el subespacio vectorial F esta conte- 
nido en el subespacio vectorial G. 

De F c G y G c F se sigue que P = G 

2 o ) Si los vectores a.b.c son linealmente independientes entonces. 



lím c 



F = 3 



Como los subespacios F y G son idénticos se tiene que , 

dim_ C - 3 

Luego, los vectores u,v,w son linealmente independientes. 
El mismo razonamiento se podía haber hecho a la inversa. 

3 ) Los razonamientos anteriores no son válidos si el cuerpo base de escalares 
tiene por característica 2. Nótese que que en I o ) hemos dividido por 2 que 
no tiene sentido si la característica es 2. 

Ademas si la característica es 2, los vectores u,v y w son linealmente de- 
pendientes, ya que 

(b + c) + (c + a) + (a + c) - 2(a *- b + c) = 
y los coeficientes de esta combinación lineal no son nulos. 



42 / Espacios vectoriales 

1.45. Sean a,b,c tres nümeros reales cualesquiera, demostrar 
que los vectores (1 ,a,b) , (0,1, c> y (0,0,1) de R 3 forman una base. 

S^O LOCIÓN : 

Teniendo una base de R 3 tres vectores, el problema se reduce a demostrar que 
los vectores dados son lincalmente independientes. 

X(l,a,b) + u(O.l.c) + v(0,0,l) - (0,0,0) * (X.Xa + U.Xb + uc + \»> = (0,0,0) 



X - 

de donde resulta el sistema : í Xa + u - 

[ Xb + ye + v - 

del que se obtiene X = ti - V = 

Luego los vectores son Ünealmente independientes, y por tanto forman una base 

deR 3 . 



1.46. En R 3 se tiene una base B - <x ir x 2 ,x 3 ) y un vector x 

cuyas coordenadas respecto a B son : 1,-1,2. 

I o Demostrar que el conjunto S - i*± + * 2 , ^ * * 2 * X 3* es linea i 

mente independiente. 
2 o Completar S a una base B' tal que las coordenadas de x respecto 

a B' sean 1,1,1 • 



SOLUCIÓN : 



i,<x, + x 2 ) a 2 (x x + x 2 + x 3 ) = 



, + a 2 - 
a 2 -0 



*~ ( 3l + a 2 )x L + ( 3l + a 2 )x 2 + a 2 x 3 - de donde 

por ser B una base .Entonces se tiene que a^ a 2 =0 , y por tanto loa 
vectores de S son linealmente independientes. 

2 o Sea B' - íx + x, . x t + x 2 + x^ , u) .entonces , 

x = x - x 2 + 2x 3 en la base B 

- <x + x ) + (x 1 + x 2 + x 3 ) + u en la base B' 



entonces u - -Xj - 3x 2 + x 3 



Se puede comprobar fácilmente que los vectores , 

B' - (x x + x 2 , x L + x 2 + x 3 . -x t - 3x 2 * x 3 ) 
son linealmente independientes y por tanto forman una base de I . 



ca/«LVüa vuciunams - estructura I *J 



1.47. Comprobar si los vectores (1,2,3) ,(4,5,6) y (7,8,9) de 
p J son linealmente dependientes o no. 

S_0_LjÜ__C_i_0_N : 

(7,8,9) - a(l,2,3) + b(4.5,6) - (a, 2a, 3a) + (4b, 5b, 6b) = (a + 4b.2a+5b,3a+6b) 



es decir : 



7 - a - 

8 • 2a 

9 - 3a 



4b 
h 5b 
- 6b 



y resolviendo el sistema (a.b) e (-1,2) 



Por tant 



o, (7,8,9) - -d.2,3) + 2(4,5,6) 









1.48. ¿e consideran los siquientes vectores de R : 
(1,1,0) , (1,0,1) , (0,1,1) 



i) Demostrar que forman una base de R 
ii) Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica res 
pecto de esta base. 

SOLDCION : 

i) R as un espacio vectorial de dimensión 3, luego el problema se reduce a de 
mostrar que los vectores dados son linealmente independientes. 

X(1,1,0) + uU.0,1) +v(0,l.l) = (0,0,0) •» (X+u,X+v,u+v) = (0,0,0) 

X + u = 

X + V * 

u + v - 
del que se obtiene : X ■ u ■ V - 0. 
Luego los vectores son linealmente independientes, y forman una base de R . 

n) Como todo vector de R se puede expresar como combinación lineal de los vec 
tores de la base, para un vector cualquiera (a,b,c) se tiene: 

Mi. 1,0) + u(i,o,l) + v(0,l,l) = (a.b.c) de donde se obtiene el sistema: 
X + ii 



de donde resulta el sistema 



a 

X + v - b 

V + V - c 
Entonces, si 
<a.b,c) - (1.0,0) 
<a.b,c) - (0.1,0) 
<*.b,c) - (0,0.1) 



+ b - c 



. \> 



c - b 



, V - 



b + c - a 



(X,u,v) = (1/2,1/2,-1/2) 
(X.u.v) - (1/2,-1/2,1/2) 
(X.M.v) - (-1/2,1/2,1/2) 



que son las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de la 
base anterior. • 



44 / Espacios vectoriales 



1.49. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea 
lx, ,X-,... r X 1 un conjunto de vectores linealmente independientes. 
Demostrar que el conjunto (a.x.^a.x,,...^ x hdonde los escalares 
a,,a ? ,...,a son todos distintos de cero, es un conjunto lineal- 
mente independiente. 

SOLUCIÓN : 



1.51» Se consideran en R los vectores siguientes : 
= (1,-1.0,2,0) ,' x 2 = (0,0,-1,0,1) , x 3 =■ (1,-1,1,1,0) y 

/ 

x * (0,0,1,1.1) . 

Fxtraer un conjunto de vectores linealmente independientes utili- 
zando el método de reducción en "cascada". 



Los vectores {a.x, ,a„x-, . . . ,a x ) son linealmente independientes si la rela- 

1 I ¿ ¿ n n 



cion , 



Cl ( Vl ) + c 2 U 2 x 2 ) + ... + c n (a n x n )-0 (1) 



implica c - c_ ■ ... 

La relacifin (1) es equivalente a , 



c - 0. 
n 



<Vl'"l + Wt f -* 1 vA'° (2) 

Siendo los vectores x ,x , ... ,x un conjunto linealmente independiente, 

de la relaci5n (2) se tiene, 

Vi = C 2 a 2 ' •■• 



c a • 
n n 



(3) 



Finalmente, como los escalares a., a,,..., a son todos distintos de cero se 



deduce , 



c l = c 2 



c = 
n 



cjT J^U CION 

. x - (1.-1,0.2,0) 
íx 2 - (0,0,-1,0,1) 
L - (1,-1,1,1,0) 



^ - <0, 0.1, 1,1) 



(1.-1.0,2,0) 
(0,0,-1,0,1) 
(0,0.0,-1,1) 
(0,0,0,1,2) 



f y, - (1,-1,0,2,0) 



<0, 0,-1, 0,1) 



;: 



(0,0,1,-1,0) 



con 



(0,0,1,1,1) \ 

i Wj o (1,-1,0,2,0) 
w 2 - (0,0,-1,0,1) 
w 3 - (0,0,0,-1,1) 
w, ■ (0,0.0,0,3) 



V 2 = x 2 - 0.x : 
v 3 = x 3 - l.Xj 

y u - \ - o.x x 



Los vectores w ,w ? .w ,w, son linealmente independientes, y por lo canto así 
lo son los vectores x^x-.X-.x, . 



1.50. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea 

(x, ,x ? , . . . ,x I un conjunto de vectores linealmente independientes. 

Demostrar que el conjunto { u, ,u,,... r u ! , donde u. = x. , 

u_ = x,*x_ , u_ = x.+x.+x-, ... , u = x,+x_-t-x,+ ... + x , es un 
¿ L ¿ s i ¿ i n L ¿ J n 

conjunto de vectores linealmente independientes. 
SOLUCIÓN : 

Los vectores u, ,u_, ... ,u son linealmente independientes si la relación 
1 ¿ n 



implica 



Vi* C 2 U 2 



C l " C 2 



cu - 
n n 

- . 



(1) 



La relaciSn (1) es equivalente a , 

- CjXj + c 2 (x 1 +x 2 ) + c 3 <Xj-Hx 2 +x 3 ) + ... + c n (x 1 +x 2 *x 3 + ... + x r ) 

" (C 1 +C 2 +C 3 + ••• +C n )x l + (C 2 +C 3 + •" *tf"a + (C 3 + ■ ' -+ C n )x 3 + -'Vn 

Siendo los vectores x,,x~,...,x linealmente independientes se tiene : 
i ¿ n 

c,+c B +c,+ ., .+c - C+C.+ ...+c - c„ + ... + c - ...-c ,+c - c - , 
123 n23 n3 n n-1 n n 

de donde , c_ ■ C- ■ C, ■ .. . ■ C "0 



1.52. Se considera en R el conjunto de los vectores siguientes, 
Xj = (1,0,0,-1) , x 2 = (2,1,1,0) , x 3 = (1,1,1,1) 

x 4 - (1,2,3,4) y x 5 = (0,1,2,3). 
Extraer por el método de reducción en cascada un sistema de vec- 
tores linealmente independientes. 

SOLUCIOW : 

Aplicando el método de reduccifin en "cascada" se obtienen los siguientes con- 
juntos : 

*! - (1,0,0,-1) 



x 2 a (2.1.1.0) 

*3 " U.l.l.l) 

\ " Ü-2,3,4) 

x 5 = (0,1.2.3) 

w l ' (1.0,0,-1) 
W 2- (0.1,1.2) 
W 3 ■ (0,0,0,0) 

W 4 * (0,0.1,11 
V 5 B (0,0,0,0) 



y t = (1,0,0,-1) 



y 2 = (0,1,1,2) 
(0,1,1,2) 
(0,2,3,5) 
(0,1,2,3) 



y 3 => (0,1,1,2) 



5 



z x - (1,0,0,-1) 
z 2 - (0,1,1,2) 



(0,0,0,0) 
(0,0,1,1) 
(0,0,1,1) 



z^ = (0,0,1,1) 



Los vectores w. ,w ? ,w son linealmente independien- 
tes , y lo mismo sucede con los vectores z,,z_,z. 



y por tanto con los y. 



X, ,x,,x 



'2*U 



y finalmente con los 



l'*2"V 



46 / Espacios vectoriales 

\ .53. En el espacio vectorial K , donde K = Z/7Z se conside 1 

ran los vectores 

u = (5,3,3,0) y v = (5,1,2,2) 

i) Hallar una base del subespacio engendrado por u y v. 
i i > Hallar el numero de vectores que tiene este subespacio. 
iii) Hallar las coordenadas del vector w = (5,1,0,5) respecto de 
la base dada en i) . 

SOLUCIÓN : 

i) Los vectores u y v son linealmente independientes puesto que no son pro- 
porcionales. Forman, por tanto, una base del subespacio vectorial que en- 
gendran, 
ii) Todo vector del subespacio engendrado por u y v se escribe de la forma 



BU 



bv 



a,b c K 

Como a y b pueden tomar cualquier valor de K resulta que el número de vec- 
tores posibles es 7.7 ■ 49 

iii) Si a y b son las coordenadas de (5,í,0,5) en la base B - (u,v) se tiene : 

<5,T,0\5) - a<5,3,3,5) + b(3,I,2\5) 

- (5a, 3a, 5a, 5) + <3b,b,5b,2b) 

- (5a + 3b, 3a + b, 3a + 2b, 5b) 

de donde resulta el siguiente sistema de ecuaciones en el cuerpo K : 
'5 = 5a + 3b 
) T = 3a -t- b 
I 5 = 3a + 2b 
' 5 - 3b b - 6 






'•M. Determinar los parámetros m y n para que el vector 

4 
u = (l,m,4,n) del espacio vectorial numérico R pertenezca al sub- 
espacio vectorial engendrado por los vectores 
v = (2,-1,2,3) y w = (1,3,2,1) 

SOLUCIÓN : 

Si u pertenece al subespacio engendrado por v y w entonces u = av + bw de 

donde se obtiene el sistema : 

1 - 2a + b \ ( a = -1 

m « -a + 3b / ,. ,. )b - 3 

l y resolviendo el sistema / 

4 - 2a + 2b í )m = 10 

n-3a+b] ln-0 



1.55. Se considera el espacio vectorial R y se pide hallar 
a ) una base que contenga al vector (1,2,1,1) 

b j una base que contenga los vectores (1,1,0,2) y (1,-1,2,0) 
c ) una liase que contenga los vectores (1,1,0,0) , (0,0,2,2), 
(0,3,3,0) 

c j^L U C I O N : 

í, 
g ) Como la dimensión dt R es 4 , se pueden elegir tres vectores de la base ca- 
nónica que con el vector (1,2,1,1) formen una base. 

B -( (1,2, 1,1), (0,1 ,0,0), (0,0,1,0) ,(0,0,0,1)) 

es una base ya que colocados en filas forman una "cascada" como se en : 

(1,2.1,1) 
(0,1,0,0) 
(0,0,1,0) 
(0,0,0,1) 



b) Una base que contenga a los vectores (1,1,0,2) , (1,-1,2,0) es 
B - ((1,1, 0,2), (1,-1, 2,0), (0,0, 1,0), (0,0, 0,1)) 
Comprobemos que son linealmente independientes por el método de "cascada" : 
/ (1,1.0,2) f (1,1,0,2) 

(1,-1.-2.0) ^ \ (0,-2,-2,-2) - (1,-1,-2,0) - (1,1,0,2) 
(0,0.1,0) í (0,0,1,0) 

(0,0,0,1) 1 (0.0,0,1) 

Estos últimos son evidentemente independientes , y por tanto, lo son los an- 
teriores. 



c) Los vectores (1,1,0,0) , (0,0,2,2) y (0,3,3,0) son linealmente independientes 
puesto que forman una "cascada" de vectores según se ve a continuación: 

(1,1,0,0) 

(0,3,3,0) 

(0,0,2,2) 
Si añadimos el vector (0,0,0,1) de la base canónica el conjunto de vectores 

(1,1,0,0) 

(0.3,3,0) 

(0,0,2,2) 

(0,0,0.1) 
forman también "cascada", luego son linealmente independientes y .por tanto, 
una base del espacio vectorial R 4 . 



48 / Espacios vectoriales 



1.56. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K,y sea 
L = (x ,x,,...,x ) un conjunto de vectores de V. Se define : 

y L = X L ' v 2 = x 2" a l X l y n = X n " a n-l X l 

donde a lf a 2 a (1 . 1 pertenecen a K.Sea L' -íy^Yj* -• ..y n .) - 



Demostrar que si L" contiene 



r vectores linealmente independientes. 



entonces 



L contiene r vectores linealmente independientes 



S O X. D C I O 



1 Supongamos que yi'Y?» "*' * 



E 



entonces se verifica : 

Vi * b 2 ( *2 + a lV + •-' + b r (y r + Wl* = ° 



(b L y L * b 2 , 2 



?2 + *•• + b r y r' + (b 2 a l + '" + b r a r-l' X l " ° 



(b L + b 2 a x + ... + b r a c _ 1 )y 1 + b 2 y 2 + ... + b r y r 



- 



y siendo los vectores 7^7 2 r •■- • v n linealmente independientes 

b. + b. 



'2"1 



... + b^^ -0 



b 2 =0 



b = o 
r 



de donde resolviendo el sistema , b, = b- « ... - b f =0 

Por tanto los vectores x.,x^ t "" ,x r SOn linealraente independientes. 



2 Sea ahora x un vector de L , con s > r+1 , entonces 



* = y. 



+ a _,x, de donde, como y g • £ c «i 7 j se obtiene : 

1=1 



■ E C sj y j + Vl*l = £ Vj " *i-l*¿ + Vl*l + c .l y l 



j =1 r 

Por tanto , x g = £ d jXj 



j=l 



d l - L ( " c s5 )a j- 

3=2 



1 + Vi + C sl * 



d . = c . para j j* 1 , 



luego los vectores x para s > r+l dependen linea 



lmente de los vectores 



x. (1 5 i S r) 



1.57. Se considera el espacio vectorial de los polinomios de 
arado menor o igual que tres y el polinomio cero, que designare- 
mos por P 3 (X); se considera también el polinomio 

f(X) ■ aX 3 + bX + cX + d , con a / . 

Demostrar que los polinomios 

f(X) , f'(X) , f"(X) , f ,M (X) 

forman una base de P 3 (X) . 
s_oj L _5_c_LJ>JL : 

Bailando las derivadas de f(X) se tiene : 

f(X) - 3aX ¿ + 2bX + c ; f"(X) = 6aX + 2b ; f" (X) = 6a 
Cada polinomio de la sucesión 

6a , 6aX + 2b , 3aX 2 + 2bX + c , aX 3 4- bX 2 + cX + d 
es de mayor grado que cualquiera de los anteriores, y por tanto no puede ser una 
combinación lineal de los que le preceden, luego los 4 polinomios son linealoen 
te independientes y como la dimensión de P 3 (X> es 4 forman una base. 



1 .DO* Demostrar que el espacio vectorial de las funciones con- 
tinuas de R en B es de dimensión infinita. 



SOLUCIÓN : 



Sea S - ( £ : R 
n 



R / n6N| donde f (x) - sen x. 

n 



1 Las funciones f son evidentemente continuas en todo R. 

n 

2 Veamos que forman un sistema linealmente independiente - 

Sea Y* a f =0 , donde (a ) - „ es una familia de números reales 
*■* n n n nfc H 

de soporte finito, es decir, son nulos todos salvo un número finito, y 
donde es la función definida por 0(x) = .para todo x€R. 

Consideremos el polinomio ¿L a u , entonces si a € [~1»M existe un 
* € r tal que sen x - a , por tanto , 

E ■»«" " L* n sen n x q - £ V^) - ( E * n * n >i*¿ ' °« " °> 

es decir, que el polinomio ¿_, a u tiene infinitas raices pues todo 
o- e [~l<ll es una raíz, luego debe ser el polinomio nulo. 

Consecuencia : a ■ , para todo n 

Por tanto, dado un número cualquiera n, existen n funciones linealmente indi 
pendientes, luego la dimensión de este espacio es infinita. 



OU i «/ía 



L(i/a >ci.iL'ííi"'c-> 



1.59. Sea V el espacio vectorial de las funciones de R en R; 
para cada n € N sea t e R y f : R »- R la aplicación defini- 
da por f (x) = e t ' nX . Demostrar que la familia ( f n ) n€ n es lineal - 
mente independiente si, y solo si, las t n son todas distintas. 

SOLUCIÓN : 

a) Supongamos que la familia íO„ e w es linealmente independiente. 

Si los C no son todos discintos, existen dos i,j € H tales que t. = t. con 

n * 3 

i jt j , de aquí que la familia (f I £ „ tiene dos vectores iguales y, por 
tanto.no puede ser libre, contradicción. 

b) Supongamos que todos los c son distintas. 

Si la familia tf 1 -„ no es libre existen relaciones lineales nulas no tri- 
n n es 

viales. Elijamos una relación de dependencia lineal que tenga un número míni- 
mo de coeficientes no nulos; sea esta , 

Vi, +a 2 f i J + -•■ + Vi r "° ■ V a 2 \ €R * ■ Ul 

Derivando esta relación, y teniendo en cuenta que f! » c i .f i ,se tiene : 



a,t. f. + a„t. f. + ... * a t. f . - 
1 ii ii 2 ij n r i r i r 

Multiplicando la relación I 1 I por t . y restando [ 1 1 y I 2 1 se ti< 



, 121 



(t, - t. )f. + a-(t- - t- )f- 



l ii 



* r i 



Ct f - t ; )f 



2 Vi i 2 i r ii "" r-1* i r _i i r i c _i 



= 



pero debido a nuestra elección de r esta última relación lineal nula debe 
ser trivial , luego 



a i (t i, - v 



(t : - t : ) = ... - a ,<t. . - t, ) - 



'2 % i 



r-P i 



r-i 



y como los t son distintas , 



■ Vi =0 



Por tant teniendo en cuenta esta relación y la l 1 J , resulta que a f . = 

r 1 r 

de donde a = ya que f. (x) i para todo x. 

r L r 

En consecuencia, la relacián [ 1 1 es trivial en contra de lo supuesto. 



1.60. En el espacio vectorial (F{R,R) ,+, .R) se consideran las 
funciones : 

fj^íx) = eos 2x eos x, f-(x) = sen 2x sen x , f~(x> - eos x 
Comprobar si son linealmente dependientes. 

SOLUCIÓN : 

El conjunto {f,,f,,f,} no es libre ya que 

eos 2x eos x + sen 2x eos x ■ cos(2x - x) - eos x 
es decir, f, + f„ = f . 



tspacios vectoriales - Estructura I 5' 

1.61- Sea V el espacio vectorial de las funciones de R en R. 
n e mostrar que las funciones f,q,h son independientes cuando: 

i) ffx) = e 2íí , g(x) = x 2 , híx) = x 

±1) f(x) ■ sen x » gíx) = eos x , h(x) ■ x 

c O LOCIÓN : 

Las funciones f.g.h son linealmente independientes cuando 

af+bg+ch=f Q *a = b = c = 
siendo f la función cero. 
La relación af + bg + ch = f Q ■* af(x) + bg(x) + ch(x) = , para todo > 



i) En la ecuación 


ae 


2x + bx 2 + ex - 












ponemos : i ,. 




ae +b.0 + c.0-0 


a - 0- 










! x - 1 


> 


ae + b + c = 0«* 


ae 2 + 


b 


4 


c 


■ 


[ x = 2 




ae 4 + 4b + 2c = 


ae^ 


41, 


*■ 


2c 


= 



y resolviendo es sistema resulta: (a.b.c) = (0,0,0) 
Luego, las funciones son linealmente independientes. 

ii> En la ecuación a sen x + b eos x + ex = 



ponemos: I x • 

x = T/2 - 
x - ir 



a.O + b.l + c.O - 
a.l + b.O + cir/2 = 
a.O + b.(-l) + ct= 



b = 

a + cjt/2 " 

-b + cir - 



y resolviendo el sistema resulta : (a,b,c) = (0,0,0) 



1.62. i) Demostrar que los vectores u = (l+i,2i) , v =(l,l*-i) 
del espacio vectorial complejo (C,+,.C) son linealmente dependien- 
tes 

ii) Demostrar que los mismos vectores u,v del espacio 
vectorial real (C ,+,.R) son linealmente independientes. 

gOLPCION : 

i) Los vectores u y v son linealmente dependientes sii u - Xv , 
Como 



(1 + i , 2i) - <1 + i)(l,l + i) 



A = 1 




se sigue que los vectores dados son linealmente dependientes! 
**j sí \ 08 vectores fueran dependientes existiría un número real X , t^"&7lj|U^>, i ^ ytf 

u - Xv; entonces (l+i,2i) = X(l , 1+i) - ( X , X(l+i>) ■* X - 1 + i 
lo cual no es válido pues X debe pertenecer a R. 



• i.itpj>l.fWO 



1.63. Sea V un espacio veuLorial sobre el cuerpo K,y 
W ,W subespacíos vectoriales de V. Se dice que el espa- 

rio vectorial" V es suma directa de W, ,« 2 ,W n si todo vector x 

[e V se escribe de forma única como una suma de la forma , 



x = x i + x 2 + * * * 



x n , x 1 €w 1/ x 2 ew 2 x n ew n 

J Demostrar que la condición "V es suma directa de Wj ,W 2 , . . . ,W n " 
es equivalente a las dos condiciones siguientes, 
a) Todo vector x puede escribirse en la forma , 



x = x x + x 2 



+ x 



» X. G Wj ,X~t W„ 



x ew 

n n 



b) Para todo subespacio vectorial W ¿ se verifica , 



f. fl (W L + w 2 



w i-i + w i*i + •-- + V ■ í0} 



2) Dar un contraejemplo que demuestre que la condición de ser V 

suma directa de las * t no es implicada por la 1) y la condición 

c)WflW n ... íl W = ÍOl, que parece la inmediata generali- 
zación del caso n =2. 



SOLUCIÓN : 

1) Supongamos que V es suma directa de los W., entonces evidentemente se veri- 
fica la condición a). 

... + W ) , entonces se tiene que 

. + x de donde , 
n 

+ x (cada sumando está en el 



Sea z € w.íl <« 1 4 ... + Vi + W i+1 



x, ,+ x. ,, 

í-l 1+1 



- x L + x 2 



... +Vl 



(-*) + x. + , + 



subespacio de índice el correspondiente al lugar que ocupa) , como tam- 
bién se puede escribir 0- 0+0+ ... +0+0+0+ ... +0 , de la uni- 
cidad se sigue para todo i, x. = , luego z = y de aquí que se cum- 
pla la condición b) 
Recíprocamente, si se verifica a) y b> evidentemente todo x€V es de la 



forma , 



x = x, 



•1 "2 

Veamos ahora la unicidad. 



conx 1 €H 1 ,x 2 €U 2 x^ * n 



Sea x - % 1 + x 2 + ... + x n , con l^i^Ij, ... , \G\ 

,y n , con yi €« r y 2 ew 2 , ... , y n ew n 

+ (x -y ) - , con x.-y, €■,- 
n n x i i 

r*i ■ 5j<"j- V £ "i n <w ••• «ww ••• * v 

y aplicando la condición b) se tiene que XjTj - , es decir , x ¿ = y ¿ 



entonces , 
de donde , 



" y l + y 2 * ■ 
^l" 7 ! 5 + Í5t 2" y 2 ) + 



¡vía i w 



?) Veamos ahora como las condiciones a) y c) no implican la condición de ser V 
suma directa. 
Sea V a H .En este espacio vectorial consideramos los siguientes subespa- 



cíos : • Wl - {(0,y,z) / y.zÉR} 

• W 2 = {(x,0,z) / x,z€R} 

• U 3 - i(x,x,0) / x£ R) 

Entonces se verifica : 

a) W. fl W_ fl W, = !0) , como se puede comprobar fácilmente . 

b) Todo vector (a,b,c) se puede escribir así : 

(a,b,c) = (0,b-l,l) + (a-l.O.c-l) + (1,1,0) , 
es decir como suma de un vector de H. , uno de II- y otro de M . 

c) No existe la unicidad de esta suma. En efecto : 

(1,1,1) = (0,2,3) + (2,0,-2) + (-1,-1,0) 
= (0,5,4) + (5,0,-3) + (-4,-4,0) 



1.64. 



Be considera en 



7) 



(= espacio vectorial sobre el cuer 



po de los enteros módulo 7) los vectores x .= (1,2,0) , 
y = (5,3,5) y z = (3,1,6) .Se pide : 

1) ¿Forman una base de Z,,.? 

2) En caso afirmativo encontrar las coordenadas del vector (1,1,1) 
respecto de dicha base. 

SOLUCIÓN : 



D De ax + by + cz = a(T,2\Ó) + b<3,4,5) + c(S,T,6) = (0,0,0) 

se sigue que 

a t jo t «c « u i 

a = b = c = 



a + 3b + 5c - 
2a + 4b + c = 
5b + 6c = 



luego los vectores x,y,z son linealmence independientes y forman una base de 
Z (7) * va que ** dimensión de este espacio vectorial es 3. 
2 > La expresión del vector (1,1, T) en la base B = (x,y,z) es : 

(T,T,T) - a(T,2,5) + b(3,á,5) + c(5,T,6) 

de donde - - - ■ 

a + 3b + 4c - I 

2a + Sb + c ■ I 

5b + 6c - T 

y de aquí : (a,b,c) = (2,4.5) que son las coordenadas de (1,1,1) . 



54 / hspacios vecwnaies 

1.65. Demostrar que R es la suma directa de los siguientes 
subespacios vectoriales : 

Wj = ( (x,x,0) / x€R ) 

W- = I (0,y,y) / y€R [ 

W 3 = ( (z,z,z) / zÉR } 

SOLUCIÓN : 

1 Todo veccor de R se puede poner como suma de los W^tf^W^ 

Sea el veccor (a,b,c) G R , entonces se puede escribir como: 
(a.b.c) = (b-c,b-c,0) + <0,b-a,b-a) + <a+c-b,a+c-b,a+c-b) 

2 Hj n <w 2 + b 3 ) = w 2 n (w x + w 3 ) = w 3 n <w L + w 2 ) - to} 

En efecto , si un vector (a,b,c) £ W, fl (W. + W_) se tiene 

a) (a.b.c) e W , es decir , (a.b.c) - (a,a,0) 

b) (a.b.c) e U L + W 2 . es decir . (a,b,c) - (O.y.y) + (z.z.z) 

. , , " (z,y+z.y+z) 

De a) y b) resulta que : 

(a.a.O) - Cz.y+z.y+z) 

ja-z 1 a - 

luego 1 a = y + z de donde se obtienen l y ■ 

[0 = y + z (z-0 

Por canto . (a.b.c) = (0,0,0) y Wj fl <W 2 + W 3 > - f0[ 

Análogamente se demuestra que W- fl (W. + W,) ■ {0) 

W 3 n (Wj + W 2 ) = {0} 

, 1.66. Demostrar que en R (= espacio vectorial numérico de 
tres dimensiones) los vectores x = (1,-1,0) , y = (2,1,0) y 

z = (0,1,1) son linealmente independientes. Encontrar las coorde- 
nadas respecto de dicha base del vector (1,1,1). 



SOLUCIÓN : 

1) De ax + by + cz = a(l,-l,0) + b(2,l,0) + c(0,l,l) - se sigue que , 

a = b = c = 
Luego x,y,z son linealmente independientes y forman una base de R . 

2) De (1.1. i) - a(l,-l,0) + b(2,l,0) + c(0,l.l) 

se sigue que (a,b,c) - (1/3,1/3, 1) .que son las coordenadas de (1,1,1). 
en la base B = (x,y,z). 



1.67. Sea f (R,R) el espacio vectorial sobre R de las a- 
plicaciones de R en R; sea W, el subespacio de las funciones 
pares, es decir, f € W. sii para todo x , f (x) = f (-x) , y 
sea M- el subespacio de las funciones impares , es decir, 
f e W 2 sii para todo x€R se tiene que f(-x) = -f(x). 
Demostrar que F (R,R) = W, ffl W 2 . 

s O L O C I O N : 

i) w,n w 2 = ío) 

Sea f ^ W fl W. entonces se verifica : 

a) Para todo x€R se cumple f(x) ■ f(-x) ya que £€ ^ 

b) Para todo x€ R se cumple f(-x) ° -f(x) ya que fe B. 
luego de a) y b se tiene : 

f(x> - f{-x) = -f(x) , y de aquí 2f(x) - 
Por tanto f(x) - para todo x G R , es decir , W fl W- = 10} 

2) F(R,R) - V 1 * W 2 

Sea f £ F(R,R) .veamos si puede escribirse como suma de una función par 
g y una funci6n impar h. Si esto es posible se tiene: 
f(x) - g(x) + h(x) 
f(-x) - g(-x) + h(-x) = g(x) - h(x) , para todo x € R 
Despejando las funciones g y h resulta : 

• g(x) = j (f(x) + f(-x)) , para todo XÉ R 

• h(x) = j <f(x) - f(-x)) , para todo xe R 
Evidentemente : f = g + h , con ge ^ y hG« 2 , luego F (R.R) - » L + W- 

De 1) y 2) se deduce que F (R,R) ■ ^ ® H 2 



1.68. Sean Ü y W dos subespacios de R definidos por 

U = {(a,b,c)/a = b = c) ; W = {(0,b,c)/b,c e») 
Demostrar que R = U ® W 
SQLUCIOH : 

i) (a.b.c) e UOW = a = b = c y a-0 » 



~ a = b - c - 

* (a.b.c) = (0,0,0) 



Ü) (a,b,c) GR . entonces (a.b.c) = (e.a.a) + (O.b-a.c-a) 
donde (a, a, a) GU y (0,b-a,c-a) EB 



De i) y ii) se sigue que 



ii 8 w 



56 ' £spaaos vectona/es 

1-69. En el espacio vectorial (R ,+,.R) se consideran los 
subespacios vectoriales , 

W 1 = l(x r y,z)/x + y + z = 0) 

W 2 - (<t,2t,3t)/t € R} 

Demostrar que R 3 es suma directa de W^ y W 2 , es decir, R = Wj® V* 2 . 

SOLDCION : 

i) w | n « 2 ■ {(0,0,0)} 

Sea u - (x.y.z) £ V. fl M, , entonces se verifica que x + y + z - 
ya que u € W, , y también que y = 2x , z - 3x ya que u € V^. 
Por tanto : 

x + 2x + 3x - =*• 6x = =* x = de donde u - (0,0,0) , es de- 
cir , Wj n W 2 - {(0,0,0)} 



2) W x + W 2 - R- 



u = (x,y,z) e R , entonces si B * W + W debemos poder encon- 



trar dos vectores v G U, 



€ tf ? tales que 



U = V + w. 



Sea v ■ (a,b,c) G 
w = (t,2t,3t) 



V con a + b + C - , 

G H„ con t G R. 



Si R = W, + W_ , entonces la ecuación u ■ v + w debe poseer solución. 
(x,y,z) - (a,b,c) + (t,2t,3t) se obtiene el siguiente sistema: 



x, - a. + t 

y = b + 2t I 

z = c + 3t í 

= a + b + c / 



x + y + Z - 6t 



t = g(x + y + z) 



(5x - y - z) 



luego 



b = ? (-2x + 4y - 2z) 



c - | (-3x - 3y + 3z) 



Conocidos a.b.c y t en función de x.y.z se obtiene la descomposición de 
todo vector de R 3 como suma de uno de Wj y de otro de V 2 , de donde 
„3 



H 



W 



De 1) y 2) se obtiene finalmente que 

R 3 -W, 



M, 



til m.tili Í7 I ift 



1.70. En R se consideran los subespacios siguientes : 



;x,y) / ax + by = 0) 



y W, - l (x,y) / ex + dy = } 



donde a,b,c,d son números reales no todos nulos. Demostrar que : 
"R 2 = W 1 ffi W si, y solo si , ad - be ¡c 0" 

SO LOCIÓN : 

1 ad - be * 

a) Sea v - (x.,y.) un vector de U. n W_, entonces se verifica que : 



ax x + by x = 
cx l + dy l = ° 



de donde y ■ 



acx. + bey. = 
acx, + ady. = 



(ad - bc)y 1 - 



y por tanto ax. ■ ex. = (1) . 



Como a y c no pueden ser simultáneamente nulos ,ya que en caso contrario 
ad - be = , se tiene de (1) que x. = 
Consecuencia : v = (x,,y,) = (0,0) y V í fl W - (0} 

b) Por otra parte se tiene : 

a) dim W. = dim II. = L 

b) dim(W, + W„) = dim W, + dim W. - dim(W, fl W„) 



Luego R - H L + W 2 
De a) y b) se deduce que 

1 R 2 



R • 1^ © W 2 



1 2 

a) Supongamos que ad - be - , es decir que , ad - be , ent 



unces si 



b i 



i 

ax. + by 



» 2 . En efecto , si v = (x. ,y,) € W. se verifica , 
^> adx + bdy = = 

cx l + dy l " ° ' es decir • v " ( x i»y-.) G ■,- 



bcx, + bdy. = , siendo b ¿ , 



\"V 



se tiene que 

En este caso u 1 + v 2 = V 2 * R¿ » contradicción. 

b) Supongamos que ad - be - , es decir que , ad - be y además b - 0. 
Entonces 1^ - {(0 ( y) / y € R} y 

W„ ■ {(0,y) / y € R} ya que en esta suposición d = ya que 



ad = be. Luego Wj - H 
Contradicción 

De a) y b) se deduce que 



y por tanto W, 



ad - be ¿ . 



M 2" H 1 



w 2 * V. 



68 / Espacios vectoriales 

1.71- Sean a y b dos números reales no nulos. Sea T el conjunto 
de las sucesiones de números reales (u n > neN tales que , 

"para todo n > 1 , u n+1 = au fi + bu ft _ l " 

Demostrar que : 

1) T es un subespacio vectorial de dimensión dos del espacio vecto 

ríal de las sucesiones de números reales. 

2) Hallar la solución general de la relación. 



SOLUCIÓN : 

1) a) La sucesión nula es un elemento de T 
b) Sean (u > n€|| 



Y ( v > cu dos sucesiones de T , entonces si n 2 1 
n n £ W 



Vi + Vi 



.m 



bu 



n-1 



av + bv , 
n n-I 



,<« + v n ) + b(u n _ 1+ v n-1 ) , luego (u n ) ne|| + (v n > n 



■ .-N 



€ T. 



c) De cu 



c(au 



"V^ 



- a(cu > + b(cu n _j> , se sigue que ^\^ n ^ n 



n nfcB 



De a),b) y c) se deduce que T es un subespacio vectorial del espacio de 
Las sucesiones reales. 



Véanos ahora que (u n > n G|| y (v n ) n6 N son linealmente independientes sii 



Si 



Xu + uV ■ 
o o 



tu. 



uv x - 



, por la relación de recurrencia Xu 



1,V_ 



para todo n , luego como í»,,)^, y ( v n >nGN S0 ° linealmenCc independien 
X = U = , y el sistema debe tener solución única, es decir. 



tes, 

lu v I 
I o o 1 



jé . El recíproco es inmediato. 



Por otra parte es evidente que conocidas u q y u^ está determinada por re- 
currencia la sucesión; entonces SÍ ( M n > ne || eT 



y ( Vnel v «Vnei 



son linealmente independientes , entonces el sistema , 



Xu 



'-'•'. 



o o 

>U- + uv. 



tiene solución, luego < w n ' ne n " A * u n 'n6N 



^VnGN v ' p ° r tanC ° 



Í( u \ (v ) i es una base de T, y en consecuencia dinu 

n n6l ' n nfel * " 



T = 2 



2) Supongamos que u ■ x , entonces 



¡i <u ) 

n ni 



es solución se debe 



n+1 n n-1 n-1 

r , x = ax + bx , y dividiendo por x se tiene: 

/ x 2 - ax - b - 0. 



a) La ecuación tiene dos soluciones reales distintas X- y x . 



Entonces las sucesiones (x ) „ 
y toda solución es de la forma : 



y <*;> 



Z'm 



son independientes 



<U n'n e , 



C l (x l ) n€ N + C 2 (x 2 > n G 



Si n ■ entonces u » c. + c_ , 
si n : 1 entonces u. - c.x. + c_X_ 



y resolviendo el sistema: 



V2 * U l 



x 2 -x x 



c 2 = 



U X, - U- 
1 1 



X l - X 2 



, de donde la solu- 



ción general es : u • 



¿ 1 ~2 
b) La ecuación tiene dos raices iguales , x 



ü. - U X- u x, - u. 

I o ¿ n o l 1 n 

X. - X, 1 X. - x_ 2 



x 2 = x . 



Entonces las sucesiones (x ) 

nfcB 

y toda solución es de la forma : 



y (nx ) _„ son independientes 
nfZ» 



ÍU n>n e , 



C l U \el +C 2 (nxn> neH 



u - c, 
o 1 



Si n = entonces 

si n = 1 entonces u = c.x + c_x l 



y resolviendo el sistema , 



u, - u x 

1 o 



de donde la solución general es : 



u. - u x 



( 1 o A n 

U n = l u o + "J X 



c) La ecuación tiene dos raices complejas x. y x_ . 

Sean : x, = r(cos 6 + i sen 9) , x. • r(cos8 - i sen 8) 



Entonces las sucesiones { (r (eos n6 + isen nO ) 

(r (eos n6 - isen nS ) 



n€I 



n€" 



son independientes, y las partes reales e imaginarias constituyen 
las soluciones independientes. Toda solución es de la forma : 



<u nU: 



c.(r eos n8 ) __ + c„(r sen n9) 
1 ntl 2 



n€l 



Si n = entonces u ■ C. 
o 1 



si n ° 1 entonces u, 



c.r eos 8 +■ c_r sen 



c, = u 
1 o 



c 2 = 



u, - u r eos 
1 o 



r sen 



60 / Espacios vectoriales 

1.72. Sea V un espacio vectorial real finito y V a = V xV . En 
V' se definen la operación interna 

(x,y) + (x',y'l = <x + x*,y + y') 
y la operación externa con escalares complejos , 

(a + bí) (y,x) = (ax - by , bx + ay) 

a) Demostrar que (V 2 ,+,.C) es un espacio vectorial. 

b) Estudiar la dependencia lineal de los vectores lx,0),(0,x) 

c) Si X. ,Xy...|X son vectores linealmente independientes de V,es 
tudiar en V 1 la dependencia lineal de los vectores (x. ,0) , {x ? .0) , 

(x m ,0> • 

m 

d) Construir un sistema generador de V 1 a partir del sistema gene- 
rador u.,u-,...,u de V. 

e) Construir a partir de la base (e. ,e 2 , . . . ,e ) de V una base de 
V . ¿Cuál es la dimensión de V 2 ?. 

SOLUCIÓN : 

a) La demostración es similar a la hecha en el ejercicio 1.12. 

b) De la combinación nula 

(a + bi)(x,Ü) + (a' + b'i)(0,x) = (0,0) 
equivalente a , 

(ax.bx) + (-b'x.a'x) - (0,0) 

se sigue que ax-b'x-0 y bx + a'x • 

es decir. (a - b')x =0 y (b + a')x = 

Estas relaciones se verifican para infinitas cuaternas de números reales, 

en particular, para a a b' ■ b = I y a 1 D -1 . Entonces 

(1 * i)(x,0) + (l - iHO.x) = (0,0) 
y, por Canto, los vectores son linealmente dependientes. 

c) Para estudiar la dependencia lineal de los vectores (x. ,0) , (x-.0) ,. . . ,(x ,0} 
consideremos la siguiente combinación lineal nula : 

(«j+bjOtxpO) + (a 2 +b 2 i)(x 2 ,0) + ... + (a n +b B| i)(x m ,0) - 
de donde , 

<Vl' b l x l> + <V 2 ' b 2 x 2> + •■• + < Vm' b m X m ) " ° 



l l x l + a 2 x 2 



ix = 
n n 



y de aquí : 

Por ser los vectores x,,x_,...,x linealmente independientes resulta que 



Vi +b 2 x 2 + ••• +b n x n = 



"1 "2 
y por tanto. 



b l " b 2 " 



- b - 
n 



vv - w ■ •-• - w 



LJfSULllS¿> VDLIUlfOfOJ " LJ"iyLiuii7 / y 



es decir, los vectores (x. ,0) , (x. ,0) (x ,0) son linealmente independien 

tes. 

d) Veamos que los vectores (uj,0) ,(u-,0),. .. ,(u ,0) es un sistema generador d< 
íctor de V 1 ; se tiene, por 
nerador de V.que : 



V* . Sea (x,y) un vector de V 2 ; se tiene, por ser u.,u ? ,...,u un sistema ge- 



x = aju, + a 2 u 2 * ... + a pUp 
y - bju, + b 2 u 2 + ... +b p u p 

Por tanto, 

(x,y) • ( a i u i + a 2 u ? * ■•• + a r. u ,,» D i u i + &? u ? + ••• + t>„"„) 



P P 



pp-ri ' "2"2 

- Ujüj.bjUj) -f (a 2 u 2 ,b 2 u 2 ) + ... + (a p u p .b p u p ) 

- ( a¡ * b 1 i)(u I ,0) + (a 2 + b 2 i)(u 2 ,0) + ... + (a * b i) (u ,0) 

luego , (u. ,0) ,(u ? ,0) , . . . ,(u ,0) es un sistema generador de V 3 . 

e) Una base de V a u ((ej ,0) ,(e 2 ,0) <V 0)) • 

En efecto : 

♦ Por c) los vectores (e. ,0) ,(e ? ,0) (e ,0) son linealmente independier 

tes ya que lo son e ( ( e , ...,e en V. 

♦ Por d) los vectores (e, ,0) , (e~,0) , . . . , (e ,0) forman un sistema generadoi 

de V 2 por serlo e. , e,,...,e_ de V 

1 ¿ n 

Los espacios vectoriales V y V 2 tienen la misma dimenciÓn.En este caso, n. 



1.73. Demostrar que el espacio vectorial (C 2 ,+,.R) es de dimen 

sión A . 

SOLDCION : 

Varaos a ver que los vectores B = {(1 ,0) ,(i,0) , (0,1) ,(0,i)) forman una base 

de dicho espacio vectorial. 

a) Los vectores de B forman un conjunto linealmente independiente. 

a(l,0) + b(i,0> + c(0,l) + d(0,i) - (0,0) -» (a + bi.c + di) - (0,0) 

■* a + bi ■ 
• c + di = 



a-b-c-d-0 
2 



b) Los vectores de B son un sistema generador de C 2 . 

En efecto, sea v - (ipij) - (a + bi ,c + di) un vector d 

v - (a+bi,c+di) - (a,c) + (bi,di) 

- (a,0) + (0,c) + (bi,0) + (0,di) 

- «(1,0) + c(0,l) + b<i,0) + d(0,i) 



62 / Espacios vectoriales 



1.74. Sea P-OO el espacio vectorial de los polinomios de gra- 
do menor o igual que n.Se considera el conjunto de vectores 

b- {x°d-x) n , x(i-x> n -\x 2 u-x) n " 2 x n u-x>°) 

Demostrar que B es una base del espacio vectorial P (X) . 

SOLUCIÓN : 

Se trata de ver que se verifica la siguiente implicación : 

a X°(l-X) n + a.X(l-X) n-1 + a,X 2 (l-X) n " 2 + ... + a X n (l-X)°- -*» a -a -a -. . .-a -0 

o l ¿ n o i ¿ n 

Esta relación se puede escribir de la siguiente Corma : 



'2M-X' 



n-Pl-X' 



oM-X' 

... *a (JL) n (l-x) n * . 
n í-x 

Y 
Haciendo el siguiente cambio y - y^j se obtiene la siguiente expresión: 

n-1 . n. 



(l-X) n (a Q y° +V 1 + a 2 y 2 + ... 



* ,y 



.y ) - o 



Por tanto , 



o 1 , 2 . n-1 . n 

V + V + V * ••' * Vi y + V " ° 



Siendo este polinomio idénticamente nulo resulta que : 

a = a, = a, = . . . = a =0 
O 1 2 n 



Luego el conjunto de los polinomios dados en B es un conjunto línealmente inde- 
pediente, y como la dii 
cho espacio vectorial. 



podiente, y como la dimensión de P (X) es n+1 resulta que B es una base de di 



1.75. Sean u,v,w tres vectores de un espacio vectorial V(R) . 
Demostrar que si u,v f w son Uneamente independientes lo mismo su- 
cede con los vectores u+v , u-v , u - 2v + w. 



SOLUCIÓN : 



a(u+v) + b(u-v) + c(u-2v+w) - <* au + av + bu - bv + cu - 2cv + cw ■ 

— (a + b + c)u + (a - b - 2c)v + cw - 
y por ser los vectores u.v.w línealmente independientes, resulta: 
a + b + c - 
a - b - 2c - 
c - 
Por tanto los vectores dados son línealmente independientes. 



(a.b.c) - (0,0,0) 



tspacios vectoriales • estructura i oo 

1.76. Sea P (X) el espacio vectorial de los polinomios de gra- 
jo menor o igual que n. Demostrar que el conjunto de vectores (po- 



li nom 



íop) de dicho espacio , 

«l+x) n , xu+x) n_1 x?<i + x) n - p ,... , x n ) 



linealmente independiente. ¿Forman una base?. 
^n j. U C I O N : 

1 Se trata de ver que 

a (1+X) n * ai X(l+X) n_I 4- ... + a p X P (l+X)"" P + . . . + a^ 



i -a= ...'a =0 
O 1 n 



2 El desarrollo por el binomio de Newton de cada uno de los términos del pri- 
mer miembro es : 

•.««o*- •.«♦(?) » + GK *••■♦ cy*" ,+ CK> 



,X(1+X) 



n-1 



,<-(n)^ -*(S) rfri *C*K> 



. ,X n_1 (l +X) - a .(X"" 1 + x n ) 
n-1 n-I 



> X n - a X" 
n n 



3 Sumando y reduciendo términos del mismo grado se obtiene la siguiente expre- 
sión : 

+ < a o(„-.) + 4t\) + ••• + Vi'*""' * (a *a, . a 2 ^ ... + . n ,x" - 



4 Siendo el conjunto B = U.X.X 2 ... , X°) una base del P (X) los coeficien- 

n 

tes de la expresión anterior son todos nulos. 

Por tanto a - . 
o 

°e la relación a f "J + a - resulta que a - 

De la relación a f 2 1 + a l Í ""*) * *2 ~ ° cesulta 1 ue a 2 " ° 

Repitiendo este proceso se obtiene :a -a, ■ a_- . . . - a -0. 

o 1 2 n 

biendo todos los coeficientes nulos, el conjunto 

{(1 + X) n ,X(l * x) n_1 X P (1 + x) n " p X n } 

es línealmente independiiMUi- 

«Ótese además que siendo la dimensión de P (X) , n + 1, forman una base de es 

te espacio vectorial. 



64 / Espacios vectoriales 



Espacios vectoriales - Estructura I 



"\ .//. Sea P (X) el espacio vectorial de los polinomios reales 
en una indeterminada, de arado menor o iqual que n, juntamente con 
el polinomio cero. Se considera el subconjunto de polinomios 

B = (l r (X-h),(X-h> 2 , (X-h> 3 CX-h) n } 

a) Demostrar que B es una base de p n ( x ) 
Hallar la dimensión de p n í x} 

b) Si n = 4, hallar las coordenadas del vector p(X) = 5x +6X -4X+2 
respecto de la base B = (1, <X-2) , (X-2) 2 , (X-2) \ tX-2) 4 ) 

SOLUCIÓN 

a) P <X) es una espacio vectorial cuya base canónica es 
B - (l.X.X ,X , ...,X n ) 
La dimensión de P (X) es evidentemente n+1. 

Cada polinomio de la sucesión 1 ,<X-h) ,(X-h) 2 , (X-h) 3 . . . . ,(X-h) n es de mayor 
grado que cualquiera de los anteriores, y, por tanto, no puede ser una combina- 
ción lineal de los que le preceden, luego estos n+1 polinomios son linealmen- 
te independientes y como la dimensión de P n <X) es n+1, forman una base. 



1 78- S ea p Í^J e ^ espacio vectorial de los polinomios de gra- 



do meno 



r o igual que n.Se considera el conjunto de polinomios 



B S{ 1,X,X(X-D ,X(X-1) (X-2) , ... ,X(X-1) (X-2) . .. (X-n+1) } 
_j 05tca r que B es una base del espacio vectorial p _00 • 

TJ^T. U C I O N : 

_ trata de ver que se verifica la siguiente implicación: 

. 2 X(X-1) + a 3 X(X-l)<X-2) + ... + a n X(X-l) (X-2)... (X-n+1) = 



+ a L X 



i - a, 
o 



= a » 
n 



Dando valores a X en la anterior .expresión obtenemos : 
X - = 



= a .1 
o 



X = 1 -* - a o .l + a r l 



= a .1 + a , .2 
o 1 



0=a o .l 



V 3 + 



a 2 -2.1 
a„.3.2 



a 3 3.2.1 



de donde se tiene 



b) B es una base de P¿(X) < luego 



5X 4 +6X 3 -4X+2 = a Q + a^X-2) + a 2 (X-2) 2 + a 3 <X-2) 3 + ajX-2)* 



i - 2a, + 4a- 
o 1 2 



16a, 



( a x - 4a 2 + 12a 3 - 32a 4 )X + 

( a 2 - 6a 3 + 24a ¿ )X 2 + 

( a - 8a ¿ )X 3 + 

» 4 * 4 



E identificando se tiene : 



a o - 2a l 



4a 2 - 



16a, 



a l " * a 2 + 12a 3 " "^ 



- 2 

- -4 



i_ - 6a, + 24a, - 

¿Si* 



a - oa 4 



Resolviendo este sistema triangular .empezando por la última ecuación y susti 
tuyendo en la que le precede, se tiene : 



1^ - 6 , a 3 - 46 , a 2 = 156 , a } = 228 



a - 122 
o 



Por tanto, las coordendas del vector p(X) en la base B, son : 



(« 



i 2 ,a 3 ,a 4 ) - (122, 228, 156, 46, 5) 



X = n 



- a .1 + a. .n + a-.n(n-l) + ... + a n 
o 1 2. n 

... = a = 



o 1 2 3 n 

Luego B es un conjunto de vectores linealmente independiente, y como la dimen- 
sión de P (X) es n+1 resulta que B es una base de dicho espacio. 



1.79. Sea V el espacio vectorial de los polinomios en t de gra 
do <n y el polinomio cero. Demostrar que cada uno de los conjuntos 
siguientes es una base de V : 
n-1 , n 



« íl.t.t* t n -\t n > 

Ji > U,l-t,(l-t) 2 (l-t) n ~\(l-t) n } 

l°Ü C I O N : 



l > a) Es evidente que todo 



polinomio de V es una combinación lineal de los 



vectort 



i.t.t 2 ,...,t n -V. 



b) Además l,t,t .....t" ,c" son independientes puesto que ninguno de ellos 

es una combinación lineal de los vectores anteriores. 
Por tanto, de a) y b) se deduce que { 1 ,t,t 2 , . . . ,t n ~ l ,t n } es una base de V. 
La dimensión de V es, por consiguiente, n+1 . 



66 / Espacios vectoriales 



ii) a) Siendo dira V - n+1 , una base de V está formada por n+1 vectores li- 
nealmente independientes. 

b) Cada polinomio del conjunto f 1 ,< 1-t) , ( 1-t) 2 ( l-t> n ~ l ,{l-t) n ) ord« 

nado por grados es de mayor grado que cualquiera de los anteriores, y 



por tanto, no es una combinación lineal de los que le preceden. 

Luego, los n+1 polinomios, 1 , (1-t) , (1-t) 2 (l-t)""' , (1-t)" i 

nealmente independientes y forman una base de V, 



1.80. Sea P-(x) el espacio vectorial de los polinomios en una 
indeterminada de grado menor o igual a 2. Sea M el subespacio engen 



drado por 



( x 2 -l ,x + 1 , x 2 - 7x - 10 ) 



Hallar una base de P~ (x) que contenga una base de M. 



SOLUCIÓN : 

1 La base canónica del espacio vectorial P~(x) es I 
La dimensión , por tanto, de este espacio es 3. 

2 Si el subespacio vectorial M está engendrado por 

U 2 - 1 , x + 1 ,3x 2 - 7x - 10) 



- (l,x,x ¿ > 



para saber su dimensión se trata de ver el número de vectores linealmente 

independientes. 

El polinomio 3x - 7x - 10 es una combinación lineal de los otros dos: 



3x 2 - 7x - 10 - 3(x 2 - 1) - 7(x 



¡) 



El conjunto de vectores o polinomios (x - 1 , x + 11 es linealmente inde- 
pendiente. En efecto de , 

a(x 2 - l) + b(x + 1) = 
se sigue que a ■ b a 0. Por tanto se trata de una base de H. 

3 Utilizando el teorem de Steinitz ampliamos la base {x - 1 , x + 1} 



con un nuevo vector de la base canónica. 

a) El conjunto de polinomios (1 , x - 1 , x + 1) 

Los vectores son linealmente independientes: 
a.l + b(x 2 - 1) + c(x + 1) - 

implica que a ■ b • c ■ 0. 



:s una base de P^(x). 



b) La dimensión del espacio vectorial engendrado por 'l,x -l,x+ll es 3, 
Luego coincide con P_(x). 

Por tanto se ha encontrado una base de P ? (x) que es ampliación de la de M. 



tspacios vectoriales - estructura / V7 



1.81- Sean V^ y V ¿ dos espacios vectoriales sobre el mismo 
cuerpo K. Demostrar que si dim v x - n l y dim V 2 = n 2 entonces 

/ dim (VjX v 2 ) = dim V^ + dim V 2 

p n i. O C I O H : 

Sea Bj - ( x 1 ,x 2 , ... ,x n ) unabasede Vj , 

sea B 12 - ( (x 1 ,0),(x 2 .0) (x n ,0) , (O.y^ ,(0,y 2 ) (0,y n )) 

" ( Z l ' Z 2 \ ' Vi ' Z n 1+ 2 Sy^í 

entonces el conjunto B i2 es una base del espacio vectorial V.xV, 
1 B,„ es un sistema generador del espacio vectorial V, x V, 



sea b 2 - ( y 1 »y 2 » -•• »y n _) una base de * 2 • 



r 2 



12 ■ 1" '2 

En efecto , sea u ■ (x,y) € V.XV entonces x € V. , y e V, 
y por tanto : 



x = a l x 1 + a 2 x 2 



a x 
"l n l 



V - b lVl + b 2 y 2 + ... + b y n 



2 "2 



luego 



u = (x,y) - a^Xj.O) + a 2 <x 2 ,0) + ... + a (x ,0) 
b^O.yj) + b 2 (0,y 2 ) + ... + b n (0,y ) 



= C i Z l + C 2 Z 2 



n, n. n.+I n,+l 



n.+n_ n.+n_ 



con c. 



l l ,C 2 



'1 "1 "1 
El sistema B._ es linealmente independiente . 



V • c n,+l * b l \^ 2 ' \ 



En efecto : c^ + c^ + ... + c n 



!+n 2 ni +t. 2 

a x + a x + ... + a x 
"1 2 2 n n. - 



es equivalente a 



' Vi + v 2 + • • • + v„ 2 - ° 

y por ser B^^ y B 2 bases se obtiene finalmente que los coeficientes son 
nulos , es decir , 



Vi" • c 2-v° V 



o , 



C n 1+ 1 ' b l " C n 1+ 2 * b 2 " * • " 



c - b - 

n 1+ n 2 n 



Por c 



Bnt ° B 12 eS una base del es P acio vectorial V x? , luego 
dim C^x v 2 ) - card B J2 - n t + n 2 



68 / Espacios vectoriales 



Espacios vectoriales - Estructura I 



1.82. Sean W. y W- dos subespacios vectoriales distintos de di 
mensión 2 de un espacio vectorial de dimensión 3 sobre un cuerpo K, 
Demostrar que su intersección W. i" 1 w„ tiene por dimensión 1. 

SOLUCIÓN : 

Siendo W. y W„ subespacios vectoriales distintos, el espacio suma Wj + W 2 contie- 
ne estrictamente a W, y a W,, por tanto dim(W. + Wj > 2 , luego ,dim(W 1 *W 2 )-3 
ya que es la dimensión máxima de un subespacio. 
Por otra parte sabemos que 

dim(W. + W„) - dim Uj + dím W 2 - dimíWj <"» w 2 > 



de donde, sustituyendo, 

y en consecuencia, dim(W, <~> VJ) - 1 



3 = 2 + 2 - dimO^n w 2 ) 



1.85* Sea 2,^. el cuerpo de los enteros módulo 5 ,o números 
congruentes módulo 5. Sea Z.,.. = V el espacio vectorial sobre 
dicho cu«rpo de dimensión 4. Sea el conjunto de vectores S : 
S- f(I, 0,2,1) , (0,1,2,3) , (3,2,5,4)1 

1) Encontrar las ecuaciones paramétricas de L(S) . 

2) Encontrar las ecuaciones cartesianas de L(S). 

3) Ver si el vector (1,1,1,1) pertenece o no al subespacio L(S) 

s q^L D C I O N : 

l) Aplicando el método de reducción en cascada se tiene : 






% x = (1.0,2,1) 
x. = (0,T,2,3> 



y x - (1,0,2,1) 
y 2 - (5,7,2,3) 



1.83* Sea V un espacio vectorial de dimensión tres sobre el 
cuerpo K, W. un subespacio vectorial de dimesión 1, W- otro subes- 
pacio vectorial de dimensión 2. Demostrar que 

W. OW, ' {0 1- W.+ W, = V 



SOLUCIÓN ; 



dim(Wj + U ) - dim^) + dim(W 2 ) - dim(W ( O V¿ 



y sustituyendo dim(Wj + W 2 ) - 1+2-0 

- 3 
y siendo dim(V ) • 3 se sigue que 



dim(W, + W_) - dim(V 3 ) de donde W. + H, - V 3 



1 2' 



1 2 



x 3 - (3,2,0,4) 



' 3 => (0,2,4,1) - K;J - 3 X¡ 



Siendo y^ • 2 y 2 .se sigue que Vj e y son vectores linealtnente 



independientes y por tanto x. y x_. 



( V V 



L(S) tiene una base 

Las ecuaciones pararaétricas se obtienen así: 

12 3 4 
x = (S ,5E ,x ,x ) pertenece a la variedad L(S) si y solo si : 



x - (x 1 ,; 2 ,; 3 ,;; 4 ) - ¿.(1,0,2,1) 



de donde 

-1 

x - a. 



+ a_(0,T,2,3) 



(a 1 ,0,2a 1 ,¿ 1 ) + (0,a 2 ,2a 2 ,3a 2 ) 



• (a^.a^aj + 2a 2 ,a 



3a 2 ) 



1.0*r. Sea V un espacio vectorial de dimensión 6, H. y W- dos 
subespacios distintos de dimensión 4. Hallar la posible dimensión 
de Hj n W- 

SOLDCIOH : 

Siendo los subespacios vectoriales distintos W. + W„ contiene propiamente a 

W, y a W. , por tanto dim(W. + W„) > 4 

Por otra parte, dím(W. + W») < 6 . Teniendo en cuenta la relación 

dim(H ( + W 2 ) - dim(W 1 ) + dim(W 2 ) - dimíWj ("i Wj) 

se tiene : 

i) Si dim(V, + H n ) - 5 entonces 5-4+4 - dim(W. n tf,) 

12 í ¿ de donde 

ii) Si dim(W ( + W 2 ) =6 entonces 6-4+4 - dimíWj n Mj) 

la dim<W l C\ w 2 ) es 2 Ó 3. 



x 2 = 



•2 



*"-\ + 3 "*2 



*' Eliminando lo 



Ecuaciones paramltricas de L(S) 



b parámetros a. 



y a. se obtienen las ecuaciones : 



x 3 - Jx 1 -2x 2 



3X- 1 



3-x 2 



4 x 1 + 2 x 2 






X 



5/ 



o 





equivalentes a 



Ecuaciones cartesianas. 



3) El 



vector (1,1,1,1) no satisface ninguna de las ecuaciones cartesianas 
Ju ^go no pertenece a la variedad engendrada por S , L(S) . 



70 / Espacios vectoriales 

1.86. Se considera en R 4 el subespacío * 1 engendrado por los 
vectores u, - (1,-1,0,1) , u-, = (-1,0,1,0) , u 3 = (1,-2,1,2) y 
el subespacío W 2 engendrado por los siguientes vectores : 
Vi = (0,-1,1,1) , v 2 = (1,-2,1,2) . Se pide : 

1) Encontrar la dim (Wj " « 2 ) 

2) Hallar la ecuaciones paramétricas de dicha intersección. 

SOLUCIÓN : 

1) Dado que ^ + ^ = Wj U " 2 > • « ■**«■ *»* M ! + «2 eStS e «8 endcad ° P° C 

S = ( u 1 ,u 2 ,u 3 ,v 1 ,v 2 ) 
Para hallar una base de ^ + « 2 basta extraer de S un conjunto maximal de 
vectores linealmente independientes. 
Lo haremos por el método de reducción en "cascada". 



cnpat;ius vamonaies - Estructure i T\ 



u L - (1,-1,0,1.) 

u 2 = (-1,0,1,0) 

u 3 - ( 1,-2,1,2) 

v L = (0,-1,1,1) 
. v 2 = (1,-2,1,2) 



Xj = (1,-1,0,1) - Uj 

x 2 = (0,-1,1,1) - u L + u 2 

x = (0,-1,1,1) - u 3 - u 2 - x 2 



x A - (0,-1,1,1) * x 2 

x 5 - (0,-1,1,1) - v, - Uj 



Los vectores ^ y x 2 son linealmente independientes, y por tanto, sucede lo 
mismo con los vectores ^ y u 2 . Luego una base de * x +* t « B - l^.Uj ) 



Consecuencia: 



dim (W + W 2 ) - 2 



Si en la reducción anterior consideramos únicamente los tres primeros vecto- 
res se ve que hay dos linealmente independientes. Son B = ( Uj.Uj) 
Consecuencia : 



dim V L = 2 



Los vectores de U, , v. y v^ 

proporcionales sus coordenadas. Luego , dim H- 



son linealmente independientes ya que no son 



Sabemos que : dimíW^ + Wj) = dim ^ * dim W ? - dímO^ fl Wj) 
por tanto 



2 - 2 + 2 - dim(W. D W 2 > 



luego , 



dim(W n w 2 ) 



2) La ecuaciones paramétricas de Uj fl W 2 - W 2 son : 



ecuaciones ^i-—™- T - 2 J ( _ x _ 2 u,X + M.A + 2u> 

(x..x 2 ,x 3 ,x / ,) = X(0.-1,1.1,) + M(l,-2.1,2) 



1 87- Se consideran en R los subespacios vectoriales engendra 



(JO! 



pcjr 



W 2 por 



5 1 = {(1,1,1,1), (1,-1, 1,-D) 

5 2 = {(1,1, 0,1), (1,2, -1,2), (3,5,-2,5)) 






Encontrar : 

D dimlWj + ** 2 ) 

2) dimtWj n M 2 ) 

3) Ecuaciones de W t + W 2 

4) Ecuaciones de W t fl W 2 

^ nj, Q C I O N : 

1) La dimensión de W, es 2 ya que los vectores no son proporcionales. 

La dimensión de « 2 es también dos ya que , 

(3,5,-2,5) = íi. 1,0,1) + 2(1,2,-1,2) 
= (1,1,0,1) + (2,4,-2,4) 

Como base de W_ tomaremos los dos primeros vectores. 

Calculemos ahora la dimensión de V l + W 2 . Wj + « 2 viene engendrado por 
S y S-, y por tanto por los vectores de S, y S„ linealmente independientes. 
Aplicando el método de reducción en cascada se obtiene: 



Xj - (1,1,1,1) 

x 2 = (1,-1,1,-1) 

x 3 - (1,1,0,1) 

\x, - (1,2,-1,2) 



y x - (1,1,1,1) = x x 
y 2 - (0,-2,0,-2) = x 2 - Xj 
y 3 = (0,0,-1,0) - x 3 - Xj 
•f b - (0,1,-2,1) = x^ - x t 



ij - (1,1,1,1) -y x -x x 
! a - (0,-2.0,-2) = y 2 
(3 - (0,0,-1,0) - y^ 
= (0,0,-1,0) = y, + 



De donde dim (W L + W 2 > '3 



Una base del subespacio vectorial H + W- es B - (x_ ,x 2 ,x 3 ) 

' Sabemos que se cumple la relación : 
dim(W 

Sustituyendo : 

p or tanto se verifica que dim(H (1 II ) • 1 



W ) = dim V + dim H_ - dimrt^ fl W ? ) 
3 - 2 + 2 - dinfl^ fl W 2 > 



3) Las 



ecuaciones paramétricas de S 



w 2 son 



<*V.xV> 



Ui, í.i.i) 



u(l, -1,1,-D 



v(l, 1,0,1) 



72 / Espacios vectoriales 



espacios vecwnates - tstruclura i 73 



De donde , 



= (A,X,X,X) + (u.-u,i»,-u) + <v.v,0.*> 
= < X+ u + v , A - li + V i * + li » A - W + v ) 

x 1 - X + V 4 . 

x 2 = X - n + V 

x 3 = X + g 

x 6 - X - v + V 
Eliminando los parámetros l,u,v, se obtiene la ecuación cartesiana del 
subespacio vectorial W. + W~ : 

x 2 - x ¿ = I 

4) Las ecuaciones paramStricas de 1^ fl « 2 se obtienen así : 

Sea x = (x\x 2 ,x 3 ,* 4 ) un vector de V ¿ fl U ? , entonce se cumplirá : 



x G W, 



x e h. 



x - a^ +6x 2 ) 
x - Yx, + <5x 



de donde , 

,(1,1,1,0 + 6(1,-1.1,-1) = yd, 1,0,1) + ¿(1,2,-1,2) 

í o + ñ = y + 6 

a - 6 - Y + 26 

a + 6 - - * 

a - 6 - Y + 26 

Resolviendo el sistema queda : 

(k,B,y.¿) • <- |í, " 5 «--2¿ . ^ ) 

Tomando 6 ■ 1 resulta que el vector x puede ser : 

x - (xV.xV) - -2(1,1,0,1) + (1,2.-1,2) = (-1,0,-1,0) 
Por tanto (x\x\x 3 ,x 4 ) € ^ « 2 si y solo si 
(x\x 2 ,x\x A ) = A (-1,0,-1,0) 

- (-X,0 , -X , 0) 
que son las ecuaciones de la variedad o subespacio vectorial W x n " 2 

Las ecuaciones cartesianas se obtienen eliminando el parámetro X : 



x 1 - x 3 = 



x 2 = 



»*-0 



Ecuaciones cartesianas. 



1 ftfl. Se considera en R el subespacio siguiente : 

w = i íx,y,z)/ x+y-z=0,x+y+z=0} .Hallar : 
La ecuación de un suplementario. 

Descomponer según W y el suplementario calculado en 1) el vec 
tor (1.2,1) de R 3 

g_2__ lL-° C I O N : 

i) a) El vector x, = (1,-1,0) es un vector de U. 

b) Si queremos completar una base de W tenemos que encontrar un vector 
x = (a,b,c) que deberá cumplir : 



1°) 
2°) 



x_ € W , es decir , 



+ b - 
c = 



(1) 



+ b - c = 

+ b + c - ~ 

Los vectores x. y x ? han de ser linealmente independientes 
De las condiciones dadas en (1) resulta que 

x, = (a.b.c) = (a.b.O) - ( a,-a,0) - a(l,-l,0) , luego todo vector 
x, es proporcional a x. y no puede ser independiente. 

De a) y b) se deduce que B - ((1,-1,0)} es una base de W , y dim W - 1. 
Varaos a completar una base de R . 



Sea x 



2 ■ (1,1,0) £ W según se ha visto en 2 8 ) . Por tanto 



y x, son 



dos vectores linealmente independientes de R . 

Sea finalmente x 3 = (m.n.p) entonces x.,x_,x, son linealmente indepen- 
dientes, si lo son los vectores (1 ,-1 ,0) ,(0,2 ,0) ,(0,0, p) puesto que 

ja, -í.o) (i.-uo) l(i.-i.o) 

i (1,1,0) *=* (0,2,0) *— j (0,2,0) -Para ello basta tomar p i* 
( <m,n,p) (0,n+m,p) ( (0,0, p) 

El vector x 3 puede ser por tanto : x, = (0,0,1) 

Sea w * el subespacio engendrado por 
el teorema de compleccion de la base. 

Las ecuaciones del subespacio w' son las siguientes : 

u - (x.y.z) € V o (x.y.z) = >.(1,1,0) + u(0,0,l) - (X.X.u) 

De donde W = f(x,y,z)/ (x.y.z) = (>.,X,u) , A.uG R) 

2) U expiesiSn de vector u = (1,2,1) es : (1,2,1) = (ü.B.y) + (X,X,u) 
con a+e+Y"0 y a+8 - y ™ , es decir , se tiene el sistema : 



* 2 y x 



3 ' 



entonces 



W + W ■ - R~ 



por 



1 . 

2 - 
1 - 
= 

- 



a + X 

S + a 

Y + u 

a + B + Y 

a + B - y 



De donde se obtienen : 
Y - , ii - 1 , X = 3/2 , 6 - 1/2 , a = -1/2 

Luego (1,2,1) =■ (-1/2,1/2,0) + (3/2,3/2,1) 



1.89. 



Sea Z ,_. el cuerpo de los números congruentes módulo 5, 



y sea V = 2. . el espacio vectorial sobre dicho cuerpo. 
Se considera en V el subespacio vectorial W de ecuaciones , 
3x+2y-z+t=0 
x + y + z +5t = 

1) Encontrar un suplementario w* de W. 

2) Descomponer el vector v = (1,2,0,0) seqfin W y W* calculado en 
apartado anterior. 

SOLUCIÓN : 

1) Cálculo de una base de W. 

Para ello hallemos en primer lugar un vector de H. Multiplicando la primera 
ecuación por 3 y sumándole la segunda se tiene : 

2y + 5z = 6 
de la que es solución , z = I , y = 1. 
Sustituyendo en el sistema dado obtenemos el siguiente : 

3x + t - 4 ) 

x + 2t ■ 3 i 
Las dos ecuaciones son iguales , luego una solución es x = t = 1 . 
Por canco un vector de W es : (1,1,1,1) - u 

Tenemos que buscar ahora otro vector,* sea v - (a,b,c,d), tal que u y v sean 
linealmente independientes o lo que es lo mismo que v no sea múltiplo de u; 
para ello basca que v no tenga todas las componentes iguales y que pertenez- 
ca a W.Se puede elegir el vector v = (1,2,2,0). 
Una base de W es por tanto, B - (u,v)= ( (1,1,1,1) , (1,2,2,0) ) 



Vanos a encontrar ahora dos vectores w y t tales que 
base del espacio vectorial 2,,,. Sea w = (x,y,z,t) y 
Utilizando el procedimiento en cascada se tiene: 



/ (l.l.l.D 

,(1,2,2,6) 
(x.y.z.t) 
(m,ñ,p,r) 



/ (1,1,1.1) 

(6,1,1,5) 

(0,y-x,z-x,t-x) 
(6,n-m,p-m,r-m) 



(1,1,1,1) 

(6,1,1,4) 

(6,6,z-y,t+3x+9)~ 

(6,6,p-m,r+3m+ñ) 



donde, c-b=l y p - m • , es decir , c a 1 + ' 

r + 3m + ñ * , es decir, r + ñ i 2 

Por tanto, tomando c=5,x=0,y"l,Z"2 

y p = m=l , r - 1 , n - 
se tienen los veccores w y t : w •» (5,1,2,0) y t = (1,0,1,1) 



B, B (u.v.w.t) sea una 
t - (S,ñ,p,r) 



(1,1,1.1) 
(5,1,1,5) 

(6,5,1, t+3x+y) 
I (0,5,6,r+3m+ñ) 
y p = m ; además 



La base ^ 1 viene dada por : ((1 ,1,1,1) , (1,2,2,0) , (0,1 ,2,0) , (1,0,1,1)) 
Los dos primeros son la base de W y los otros dos del suplementario W . 



cuaC Íones paramétricas de V suplementario de W son : 
(x.y.z.c) = ¡(0,1,2,8) +5(1,5,1,1) 



- (b , a , 2a + b , b) con a.b G Z 



Las ecuaciones cartesianas de W son : 

x - t - 5 



(5) 



z - 2y - x - 
2) U descomposición del vector v - (1,3,6,0) es la siguiente: 

(1.2,5,6) = 5(1,1,1,1) + 5(1,2,2,5) + c(5,í,2,5) + d(T,6,I,I) 

- (a 4 b,a+2b,I+2b,á) + (d,c,2c+d,d) 

Por tanto, _ 

/l = a + b + d 

i 2 = á + 2b + c 

5 - a + 2b + 2c + d 

5 - a + d 

cuya solución es : (a,b,c,d) - (1,1,1,5) 
De lo anterior se deduce que : 

(1,5,5,5) = (2,3,3,1) + (5,5,2,5) * 
donde (5,3,5,1) e H y (5,5,2,5) e w 



l.yU. "En R se considera el subespacio vectorial engendrado por 
el conjunto de vectores S , L(S) : 
S = {(1,1,-1,1,0,1), (0,0,-1, 1,2,0) ,(3, 0,1, 5,-1,-1) ,(5,2,-2,8,1,0)} 

1) Hallar las ecuaciones cartesianas ( = NO paramétricas) de I»(S) 

2) ¿Pertenece el vector (1,1,1,0,0,1) a L(S>? 

3) En caso negativo sustituir los ceros por números tales que el 
vector resultante si pertenezca. 

LHJJC I o N : 



1> Apü 



cando el método de reducción en cascada : 



\ " (1,1.-1,1,0,1) 
x 2 ' (0,0,-1,1,2,0,) 
x 3 * «. 0,1, 5, -1,-1) 
\ - (5,2,-2,8,1,0) 



y L - (1,1,-1,1,0,1) = x x 

y 2 = (0,0,-1,1,2,0) = x 2 

y 3 = (0,-3,4,2,-1,-4) = x 3 - 3x x 

y,. = (0,-3,3,3,1,-5) - x ¿ - 5x, 



y continuando el proceso de reducción en cascada hasta obtener vectores con 
uno, dos , tres o más ceros en la primera posición, resulta : 



Zj - (1,1,-1,1,0,1) = y : l w l = z l = y l ' x l 

z z = (0,0,-1,1,2,0) = y 2 1 w 2 " 2 2 " y 2 " X 2 

z 3 = (0,-3, 4,2,-1, -4)- y 3 i w 3 " z 3 = y 3 = x 3 " 3x l 

z. - (0,0,-1,1,2,-1) = y^-y-j ( w^ - (0,0,0,0,0,-1) - z^ -z f¿ = 7¿, ~ 7 3 ~ Y 2 



'4 



- X ¿ - x 3 - x 2 - 2x x 



Los vectores w ,w-,w ,w son linealmente independientes y por tanto lo mis 
mo sucede con los vectores x 1 ,x_,x_,x, y forman una base de t(S). 
x = (x ,x ,x ,x ,x ,x ) pertenece a la variedad L(S) si, y solo si, 

<x\x 2 ,x 3 ,x\x 5 ,x 6 ) - a^l, 1,-1, 1,0,1.) + a 2 (0,0,-l,l,2,0) 

+ 8,(3,0,1,5,-1,-1) + a f (5,2,-2,8,l,0> 



de donde se obtiene : 


1 
x * 

2 
x = 

3 

X B 


a L + 3a 3 + 5a 4 


a l + 2a 4 

- a l " a 2 + a 3 " 2a 4 


4 

X • 


a l + a 2 + 5a 3 + 8a 4 


s 

X = 

6 
x = 


2a 2 " a 3 + a 4 
a l " a 3 



Eliminando los parámetros a ] ,a ? ,a.,a, 

se obtienen las ecuaciones cartesianas 
de L(S) , y son: 



llx 1 - 5x 2 - 6x 4 + 3x 5 = 
2,1 - 2x 2 - x 3 - x 4 = 

2) Se trata ahora de ver si el vector (1,1,1,0,0,1) pertenece o no a la 
variedad L(S) . Sustituyendo ae comprueba que no verifica las ecuaciones 
de la variedad L(S) . 

3) Sea ahora el vector x - (1,1, l,x ,x ,1) entonces se debe cumplir : 

11 - S - ex" 1 + 3x 5 = 
2-2- 1 - x =0 

Resolviendo el sistema se obtiene : x = -i , x » -4 

Por tanto, el vector pedido es : (1,1,1,-1,-4,1) que pertenece al subesp.icio 
vectorial L(S) . 



J